Para que valores de os vetores e formam base em cada um dos casos.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar os valores de para os quais os vetores , e formam uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e bases em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de uma matriz formada por esses vetores e ver para quais valores de esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas linhas sejam os vetores , e . Isso porque a matriz será usada para verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos diz se os vetores são independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores formam uma base.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte do determinante:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:

Passo 6

Para que os vetores formem uma base, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos fatorar:

Passo 7

Vamos encontrar os valores de que tornam a expressão igual a zero:
Portanto, para que o determinante seja diferente de zero, não pode ser nem nem .

Resposta

Os vetores formam uma base para todo valor de tal que e .

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.
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