Para que valores de a os vetores f1, f2 e f3 formam base em cada um dos casos.
f1=(2 a, 1,1)E, f2=(0, a, 2)E e f3=(a, a, 1)E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar os valores de para os quais os vetores , e formam uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e bases em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de uma matriz formada por esses vetores e ver para quais valores de esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas linhas sejam os vetores 2a & 1 & 1 0 & a & 2 a & a & 1 , e . Isso porque a matriz será usada para verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos diz se os vetores são independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores formam uma base.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 2a(a cdot 1 - 2 cdot a) - 1(0 cdot 1 - 2 cdot a) + 1(0 cdot a - a cdot a)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte do determinante:
  1. Primeiro termo:
2a(a cdot 1 - 2a) = 2a(a - 2a) = 2a(-a) = -2a^2
  1. Segundo termo:
-1(0 cdot 1 - 2a) = -1(0 - 2a) = -1(-2a) = 2a
  1. Terceiro termo:
1(0 cdot a - a cdot a) = 1(0 - a^2) = -a^2

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:
det(A) = -2a^2 + 2a - a^2 = -3a^2 + 2a

Passo 6

Para que os vetores formem uma base, o determinante deve ser diferente de zero:
-3a^2 + 2a neq 0
Podemos fatorar:
a(-3a + 2) neq 0

Passo 7

Vamos encontrar os valores de a = 0 ou -3a + 2 = 0 Rightarrow a = 23 que tornam a expressão igual a zero:
Portanto, para que o determinante seja diferente de zero, não pode ser nem nem .

Resposta

Os vetores formam uma base para todo valor de tal que e .

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