Para que valores de os vetores e formam base em cada um dos casos. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar os valores de para os quais os vetores , e formam uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e bases em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de uma matriz formada por esses vetores e ver para quais valores de esse determinante é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz cujas linhas sejam os vetores , e . Isso porque a matriz será usada para verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos diz se os vetores são independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores formam uma base.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte do determinante:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos calculados:
Passo 6
Para que os vetores formem uma base, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos fatorar:
Passo 7
Vamos encontrar os valores de que tornam a expressão igual a zero:
Portanto, para que o determinante seja diferente de zero, não pode ser nem nem .
Resposta
Os vetores formam uma base para todo valor de tal que e .