Determine os valores de para que os sistemas sejam normais: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar os valores de que fazem com que o sistema de equações seja normal. Estamos falando de um sistema de equações lineares, e para que ele seja normal, a matriz dos coeficientes precisa ser uma matriz normal. Uma matriz é considerada normal quando ela comuta com sua transposta, ou seja, . Então, vamos precisar calcular essas matrizes e encontrar os valores de que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & k & 2 -1 & k & 3 -2 & 1 & k
Essa é a matriz que vamos analisar para verificar se ela é normal.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de A^T = 1 & -1 & -2 k & k & 1 2 & 3 & k , que é simplesmente trocar as linhas pelas colunas:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o produto AA^T = A times A^T = 1 & k & 2 -1 & k & 3 -2 & 1 & k times 1 & -1 & -2 k & k & 1 2 & 3 & k :
AA^T = 1 times 1 + k times k + 2 times 2 & 1 times (-1) + k times k + 2 times 3 & 1 times (-2) + k times 1 + 2 times k -1 times 1 + k times k + 3 times 2 & -1 times (-1) + k times k + 3 times 3 & -1 times (-2) + k times 1 + 3 times k -2 times 1 + 1 times k + k times 2 & -2 times (-1) + 1 times k + k times 3 & -2 times (-2) + 1 times 1 + k times k
Agora, vamos calcular o produto A^T A = A^T times A = 1 & -1 & -2 k & k & 1 2 & 3 & k times 1 & k & 2 -1 & k & 3 -2 & 1 & k :
A^T A = 1 times 1 + (-1) times (-1) + (-2) times (-2) & 1 times k + (-1) times k + (-2) times 1 & 1 times 2 + (-1) times 3 + (-2) times k k times 1 + k times (-1) + 1 times (-2) & k times k + k times k + 1 times 1 & k times 2 + k times 3 + 1 times k 2 times 1 + 3 times (-1) + k times (-2) & 2 times k + 3 times k + k times 1 & 2 times 2 + 3 times 3 + k times k
Multiplicando as linhas de A^T A = 1 + 1 + 4 & k - k - 2 & 2 - 3 - 2k k - k - 2 & k^2 + k^2 + 1 & 2k + 3k + k 2 - 3 - 2k & 2k + 3k + k & 4 + 9 + k^2 = 6 & -2 & -2k -1 -2 & 2k^2 + 1 & 6k -2k -1 & 6k & k^2 + 13 pelas colunas de :
Simplificando cada elemento:
Passo 6
Para a matriz k^2 + 5 = 6 k^2 + 5 = -2 3k - 2 = -2k -1 k^2 + 10 = 2k^2 + 1 4k + 2 = 6k k^2 + 5 = k^2 + 13 ser normal, precisamos que . Então, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Vamos resolver cada equação:
→ →
→ Não há solução real, já que é sempre não negativo.