Determine os valores de para que os sistemas sejam normais:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar os valores de que fazem com que o sistema de equações seja normal. Estamos falando de um sistema de equações lineares, e para que ele seja normal, a matriz dos coeficientes precisa ser uma matriz normal. Uma matriz é considerada normal quando ela comuta com sua transposta, ou seja, . Então, vamos precisar calcular essas matrizes e encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
Essa é a matriz que vamos analisar para verificar se ela é normal.

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de , que é simplesmente trocar as linhas pelas colunas:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto :
Vamos multiplicar as linhas de pelas colunas de :
Simplificando cada elemento:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto :
Multiplicando as linhas de pelas colunas de :
Simplificando cada elemento:

Passo 6

Para a matriz ser normal, precisamos que . Então, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Vamos resolver cada equação:
  1. → Não há solução real, já que é sempre não negativo.
  2. → Contradição, sem solução.

Resposta

Os valores de que tornam o sistema normal são e .

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Verifique se os sistemas abaixo são normais:
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Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
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