Verifique se os sistemas abaixo são normais:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o sistema de equações dado é normal. Isso quer dizer que a gente precisa analisar a matriz dos coeficientes do sistema para ver se ela é uma matriz normal. Uma matriz é considerada normal quando ela comuta com a sua transposta, ou seja, quando . Vamos precisar saber como montar a matriz dos coeficientes e como calcular a transposta dela para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
A matriz dos coeficientes é formada pelos números que multiplicam as variáveis , e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta dessa matriz, que é representada por . A transposta é simplesmente a matriz onde as linhas viram colunas. Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto . Isso significa multiplicar a matriz pela sua transposta :
Fazendo a multiplicação:
Calculando cada entrada:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto :
Fazendo a multiplicação:
Calculando cada entrada:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos e , vamos comparar as duas matrizes:
Vemos que as entradas correspondentes não são iguais (por exemplo, o elemento (1,1): 11 ≠ 3). Isso significa que .

Resposta

Como não é igual a , a matriz dos coeficientes do sistema não é uma matriz normal. Portanto, o sistema não é normal.

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