Verifique se os sistemas abaixo são normais:
cx-3 y-z=-6 x+4 y+7 z=17 -x+6 y+6 z=19.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o sistema de equações dado é normal. Isso quer dizer que a gente precisa analisar a matriz dos coeficientes do sistema para ver se ela é uma matriz normal. Uma matriz é considerada normal quando ela comuta com a sua transposta, ou seja, quando . Vamos precisar saber como montar a matriz dos coeficientes e como calcular a transposta dela para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
x - 3y - z = -6 x + 4y + 7z = 17 - x + 6y + 6z = 19
A matriz dos coeficientes A = 1 & -3 & -1 1 & 4 & 7 -1 & 6 & 6 é formada pelos números que multiplicam as variáveis , e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta dessa matriz, que é representada por A^T = 1 & 1 & -1 -3 & 4 & 6 -1 & 7 & 6 . A transposta é simplesmente a matriz onde as linhas viram colunas. Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto A cdot A^T = 1 & -3 & -1 1 & 4 & 7 -1 & 6 & 6 cdot 1 & 1 & -1 -3 & 4 & 6 -1 & 7 & 6 . Isso significa multiplicar a matriz A cdot A^T = (1)(1) + (-3)(-3) + (-1)(-1) & (1)(1) + (-3)(4) + (-1)(7) & (1)(-1) + (-3)(6) + (-1)(6) (1)(1) + (4)(-3) + (7)(-1) & (1)(1) + (4)(4) + (7)(7) & (1)(-1) + (4)(6) + (7)(6) (-1)(1) + (6)(-3) + (6)(-1) & (-1)(1) + (6)(4) + (6)(7) & (-1)(-1) + (6)(6) + (6)(6) pela sua transposta A cdot A^T = 1 + 9 + 1 & 1 - 12 - 7 & -1 - 18 - 6 1 - 12 - 7 & 1 + 16 + 49 & -1 + 24 + 42 -1 - 18 - 6 & -1 + 24 + 42 & 1 + 36 + 36 :
A cdot A^T = 11 & -18 & -25 -18 & 66 & 65 -25 & 65 & 73
Fazendo a multiplicação:
Calculando cada entrada:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto A^T cdot A = 1 & 1 & -1 -3 & 4 & 6 -1 & 7 & 6 cdot 1 & -3 & -1 1 & 4 & 7 -1 & 6 & 6 :
A^T cdot A = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(-1) & (1)(-3) + (1)(4) + (-1)(6) & (1)(-1) + (1)(7) + (-1)(6) (-3)(1) + (4)(1) + (6)(-1) & (-3)(-3) + (4)(4) + (6)(6) & (-3)(-1) + (4)(7) + (6)(6) (-1)(1) + (7)(1) + (6)(-1) & (-1)(-3) + (7)(4) + (6)(6) & (-1)(-1) + (7)(7) + (6)(6)
Fazendo a multiplicação:
A^T cdot A = 1 + 1 + 1 & -3 + 4 - 6 & -1 + 7 - 6 -3 + 4 - 6 & 9 + 16 + 36 & 3 + 28 + 36 -1 + 7 - 6 & 3 + 28 + 36 & 1 + 49 + 36
Calculando cada entrada:
A^T cdot A = 3 & -5 & 0 -5 & 61 & 67 0 & 67 & 86
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos A cdot A^T = 11 & -18 & -25 -18 & 66 & 65 -25 & 65 & 73 e A^T cdot A = 3 & -5 & 0 -5 & 61 & 67 0 & 67 & 86 , vamos comparar as duas matrizes:
Vemos que as entradas correspondentes não são iguais (por exemplo, o elemento (1,1): 11 ≠ 3). Isso significa que .

Resposta

Como não é igual a , a matriz dos coeficientes do sistema não é uma matriz normal. Portanto, o sistema não é normal.

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