Encontre uma base e a solução do espaço - solução do sistema
l x-2 y-z=0 2 x+y+3 z=0(1,0 ponto ) x+3 y+4 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você mandou. O objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço solução desse sistema, ou seja, descobrir todos os conjuntos de valores , e que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as soluções de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar o trabalho:
x - 2y - z = 0 (1) 2x + y + 3z = 0 (2) x + 3y + 4z = 0 (3)
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos começar eliminando 2(x - 2y - z) = 2 cdot 0 2x - 4y - 2z = 0 (1') . Para isso, pegamos a equação (1) e multiplicamos por 2 para facilitar a subtração com a equação (2):
(2x - 4y - 2z) - (2x + y + 3z) = 0 - 0 -5y - 5z = 0
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1’):
y + z = 0 (4)
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -5:

Passo 4

Agora, vamos eliminar (x + 3y + 4z) - (x - 2y - z) = 0 - 0 5y + 5z = 0 novamente, mas desta vez usando a equação (1) e a equação (3). Subtraímos a equação (1) da equação (3):
y + z = 0 (5)
Novamente, simplificando dividindo por 5:
Percebemos que a equação (4) e a (5) são iguais, o que significa que temos apenas uma equação independente após a eliminação de .

Passo 5

Agora, temos as seguintes equações simplificadas:
x - 2y - z = 0 (1) y + z = 0 (4)
Vamos resolver a equação (4) para uma das variáveis, por exemplo, para y = -z :

Passo 6

Substituímos x - 2(-z) - z = 0 x + 2z - z = 0 x + z = 0 x = -z na equação (1):

Passo 7

Agora, temos x = -t y = -t z = t e . Podemos expressar todas as variáveis em termos de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:

Resposta

A solução do sistema pode ser expressa em termos do parâmetro x y z = t cdot -1 -1 1 , t in R como:
-1 -1 1
Portanto, uma base para o espaço solução é o vetor:

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