Encontre uma base e a solução do espaço - solução do sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você mandou. O objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço solução desse sistema, ou seja, descobrir todos os conjuntos de valores , e que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as soluções de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos começar eliminando . Para isso, pegamos a equação (1) e multiplicamos por 2 para facilitar a subtração com a equação (2):
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1’):
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -5:

Passo 4

Agora, vamos eliminar novamente, mas desta vez usando a equação (1) e a equação (3). Subtraímos a equação (1) da equação (3):
Novamente, simplificando dividindo por 5:
Percebemos que a equação (4) e a (5) são iguais, o que significa que temos apenas uma equação independente após a eliminação de .

Passo 5

Agora, temos as seguintes equações simplificadas:
Vamos resolver a equação (4) para uma das variáveis, por exemplo, para :

Passo 6

Substituímos na equação (1):

Passo 7

Agora, temos e . Podemos expressar todas as variáveis em termos de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real.
Então:

Resposta

A solução do sistema pode ser expressa em termos do parâmetro como:
Portanto, uma base para o espaço solução é o vetor:

Exercícios relacionados

Para que valores de os vetores e formam base em cada um dos casos.
e .
Dados e , calcule a expressão de na base .
Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
Verifique se os sistemas abaixo são normais:
.