Observe o sistema linear de variáveis x, y e z:
l x+y-2 z=4 2 x+k y-4 z=8 3 x+3 y+k z=3
Com base no sistema, é CORRETO afirmar que se
a) k=3, o sistema admite solução única.
b) k=6, o sistema é impossivel.
c) k=-2, o sistema admite infinitas soluções.
d) k=-6, o sistema é homogêneo e admite solução

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. Temos um sistema de equações lineares com as variáveis l x + y - 2z = 4 2x + ky - 4z = 8 3x + 3y + kz = 3 , e . O sistema é o seguinte:
O que precisamos fazer aqui é descobrir para quais valores de o sistema tem uma solução única, é impossível, tem infinitas soluções ou é homogêneo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes e analisar o sistema de acordo com esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & -2 2 & k & -4 3 & 3 & k
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a entender se o sistema tem uma solução única (quando o determinante é diferente de zero), infinitas soluções ou nenhuma solução (quando o determinante é zero).

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot k & -4 3 & k - 1 cdot 2 & -4 3 & k + (-2) cdot 2 & k 3 & 3 :
k & -4 3 & k = k cdot k - (-4) cdot 3 = k^2 + 12
Calculando cada menor:
2 & -4 3 & k = 2 cdot k - (-4) cdot 3 = 2k + 12
2 & k 3 & 3 = 2 cdot 3 - k cdot 3 = 6 - 3k
det(A) = 1 cdot (k^2 + 12) - 1 cdot (2k + 12) + (-2) cdot (6 - 3k) = k^2 + 12 - 2k - 12 - 12 + 6k = k^2 + 4k - 12
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora que temos o determinante k^2 + 4k - 12 = 0 , vamos analisar para quais valores de k = -4 pm raiz16 + 482 = -4 pm raiz642 = -4 pm 82 ele é igual a zero:
k = 42 = 2 e k = -122 = -6
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 5

Com base nisso:
  • Se e , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma solução única.
  • Se , o determinante é zero, e precisamos verificar se o sistema é consistente ou se é impossível.
  • Se , o determinante também é zero, mas vamos verificar as condições específicas para esse valor.
Vamos analisar as opções fornecidas:
a) : Como 3 é diferente de 2 e -6, o sistema tem solução única.
b) : Também diferente de 2 e -6, então tem solução única, não é impossível.
c) : Diferente de 2 e -6, tem solução única, não infinitas soluções.
d) : O determinante é zero. Vamos verificar se o sistema é homogêneo.
Um sistema homogêneo é aquele em que todas as equações têm o termo constante igual a zero. No nosso caso, quando , a terceira equação fica , que não é homogênea. Portanto, esta opção está incorreta.

Resposta

A opção a) , o sistema admite solução única está correta.

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