Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e as autofunções para o problema de contorno dado. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente lidando com problemas de valor de contorno. Vamos precisar usar soluções gerais de EDOs lineares e aplicar as condições de contorno para encontrar os valores permitidos de (os autovalores) e as funções correspondentes (as autofunções).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
A solução dessa equação depende do sinal de . Vamos considerar os três casos possíveis:
Vamos analisar cada um separadamente.
Passo 3
Caso 1:
Se é positiva, podemos escrever , onde . A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição de contorno: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, avaliando em :
Isso implica que .
Então, a solução simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Aplicando a condição de contorno:
Fatorando :
Para ter uma solução não trivial (), precisamos que:
Passo 6
A equação não tem uma solução analítica fácil, então precisamos encontrar os valores de numericamente. Esses valores de são os que nos dão os autovalores.
Vamos resolver numericamente .
Após resolver numericamente, encontramos que o menor valor positivo de que satisfaz essa equação é aproximadamente:
Portanto, o primeiro autovalor é:
Passo 7
Com o autovalor , podemos encontrar a autofunção correspondente substituindo na solução geral:
Podemos escolher para ter uma autofunção normalizada:
Resposta
Os autovalores são aproximadamente e a autofunção correspondente é .