Seja . Ache a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, precisamos entender conceitos de derivadas parciais e vetoriais, além de saber como normalizar um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Em seguida, avaliaremos essas derivadas parciais no ponto :

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

Exercícios relacionados

Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
c)
Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Seja .
a) Ache o gradiente de no ponto .
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)