Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
a) f(x)= l 0 , x < - 1 - 1 , - 1 < x < 0 2 , 0 < x < 1 0 , x > 1 b) l 0, x2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para representar duas funções diferentes usando uma integral de Fourier. Isso faz parte do estudo de Séries e Transformadas de Fourier, que nos ajuda a decompor funções em combinações de senos e cossenos ou integrais envolvendo exponenciais complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral de Fourier funciona e aplicar essa teoria às funções que você me deu.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte a) da questão. A função f(x) = 0 & se x < -1 -1 & se -1 < x < 0 2 & se 0 < x < 1 0 & se x > 1 está definida de forma diferente em vários intervalos de :
Isso significa que a função tem valores constantes em diferentes pedaços do eixo .

Passo 3

Para representar f(x) = integral-infty^infty F(k) e^ikx , dk como uma integral de Fourier, usamos a Transformada de Fourier, que é dada por:
f(x) = integral-1^0 (-1) e^ikx , dk + integral0^1 2 e^ikx , dk
onde é a transformada de Fourier de . Como é zero fora de , a integral simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a parte de integral-1^0 (-1) e^ikx , dk = - integral-1^0 e^ikx , dk = - [ e^ikxix ]-1^0 = - ( 1ix - e^-ixix ) = e^-ix - 1ix :
integral0^1 2 e^ikx , dk = 2 integral0^1 e^ikx , dk = 2 [ e^ikxix ]0^1 = 2 ( e^ixix - 1ix ) = 2(e^ix - 1)ix
Agora, a parte de :

Passo 5

Juntando as duas partes, a representação da função f(x) = e^-ix - 1ix + 2(e^ix - 1)ix por uma integral de Fourier fica:
f(x) = e^-ix - 1 + 2e^ix - 2ix = 2e^ix + e^-ix - 3ix
Podemos simplificar isso combinando os termos:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) da questão. A função é definida da seguinte maneira:
f(x) = 0 & se x < pi 4 & se pi < x < 2pi 0 & se x > 2pi
Aqui, a função é zero fora do intervalo e tem valor constante igual a 4 dentro desse intervalo.

Passo 7

Usando a Transformada de Fourier para essa função, temos:
f(x) = integral-infty^infty F(k) e^ikx , dk
Como f(x) = integralpi^2pi 4 e^ikx , dk é zero fora de , a integral se reduz a:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
integralpi^2pi 4 e^ikx , dk = 4 integralpi^2pi e^ikx , dk = 4 [ e^ikxix ]pi^2pi = 4ix ( e^i2pi x - e^ipi x )

Passo 9

Portanto, a representação da função f(x) = 4ix ( e^i2pi x - e^ipi x ) por uma integral de Fourier na parte b) é:

Resposta

A representação das funções pelas integrais de Fourier são:
a)
f(x) = 2 e^ix + e^-ix - 3ix
b)
f(x) = 4ix ( e^i2pi x - e^ipi x )

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