Determine a representação da função por uma integral de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para representar duas funções diferentes usando uma integral de Fourier. Isso faz parte do estudo de Séries e Transformadas de Fourier, que nos ajuda a decompor funções em combinações de senos e cossenos ou integrais envolvendo exponenciais complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral de Fourier funciona e aplicar essa teoria às funções que você me deu.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte a) da questão. A função está definida de forma diferente em vários intervalos de :
Isso significa que a função tem valores constantes em diferentes pedaços do eixo .

Passo 3

Para representar como uma integral de Fourier, usamos a Transformada de Fourier, que é dada por:
onde é a transformada de Fourier de . Como é zero fora de , a integral simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a parte de :
Agora, a parte de :

Passo 5

Juntando as duas partes, a representação da função por uma integral de Fourier fica:
Podemos simplificar isso combinando os termos:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) da questão. A função é definida da seguinte maneira:
Aqui, a função é zero fora do intervalo e tem valor constante igual a 4 dentro desse intervalo.

Passo 7

Usando a Transformada de Fourier para essa função, temos:
Como é zero fora de , a integral se reduz a:

Passo 8

Vamos calcular a integral:

Passo 9

Portanto, a representação da função por uma integral de Fourier na parte b) é:

Resposta

A representação das funções pelas integrais de Fourier são:
a)
b)

Exercícios relacionados

Seja dada por:
(a)Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
(b)Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
©Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(d)Esboçe o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores. O Ex. 2 © pode ser usado para o comportamento próximo de .
Mostre que
©
Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
c)
Seja . Ache a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .