Determine a representação da função por uma integral de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para representar duas funções diferentes usando uma integral de Fourier. Isso faz parte do estudo de Séries e Transformadas de Fourier, que nos ajuda a decompor funções em combinações de senos e cossenos ou integrais envolvendo exponenciais complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integral de Fourier funciona e aplicar essa teoria às funções que você me deu.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte a) da questão. A função está definida de forma diferente em vários intervalos de :
Isso significa que a função tem valores constantes em diferentes pedaços do eixo .
Passo 3
Para representar como uma integral de Fourier, usamos a Transformada de Fourier, que é dada por:
onde é a transformada de Fourier de . Como é zero fora de , a integral simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a parte de :
Agora, a parte de :
Passo 5
Juntando as duas partes, a representação da função por uma integral de Fourier fica:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) da questão. A função é definida da seguinte maneira:
Aqui, a função é zero fora do intervalo e tem valor constante igual a 4 dentro desse intervalo.
Passo 7
Usando a Transformada de Fourier para essa função, temos:
Como é zero fora de , a integral se reduz a:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Passo 9
Portanto, a representação da função por uma integral de Fourier na parte b) é:
Resposta
A representação das funções pelas integrais de Fourier são: