Seja
.
a) Ache o gradiente de
no ponto
.
a) Ache o gradiente de
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o gradiente dessa função no ponto
. O gradiente é um conceito da matemática, especificamente do cálculo multivariável, que nos dá informações sobre a inclinação da função nas direções de
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
e depois avaliá-las no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Matematicamente, é representado por:
Isso nos indica a direção de maior aumento da função a partir de um ponto específico.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Aqui, usamos a regra da potência para derivar
e a regra da constante multiplicada para derivar
.
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como uma constante:
Neste caso,
é tratado como uma constante e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Este vetor nos dá a direção de maior aumento da função em qualquer ponto
.
Passo 6
Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Ache a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
c)
c)
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
g)
Seja
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em
na direção de
para
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de