Seja .
a) Ache o gradiente de no ponto .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o gradiente dessa função no ponto . O gradiente é um conceito da matemática, especificamente do cálculo multivariável, que nos dá informações sobre a inclinação da função nas direções de e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a e depois avaliá-las no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Matematicamente, é representado por:
Isso nos indica a direção de maior aumento da função a partir de um ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Aqui, usamos a regra da potência para derivar e a regra da constante multiplicada para derivar .

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a , tratando como uma constante:
Neste caso, é tratado como uma constante e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Este vetor nos dá a direção de maior aumento da função em qualquer ponto .

Passo 6

Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

Exercícios relacionados

Seja . Ache a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
c)
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
Seja .
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em na direção de para .