Seja f(x, y) = x^2 - 4xy.
a) Ache o gradiente de f no ponto P(1,2).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o gradiente dessa função no ponto . O gradiente é um conceito da matemática, especificamente do cálculo multivariável, que nos dá informações sobre a inclinação da função nas direções de e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a e depois avaliá-las no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Matematicamente, é representado por:
Isso nos indica a direção de maior aumento da função a partir de um ponto específico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Aqui, usamos a regra da potência para derivar e a regra da constante multiplicada para derivar .

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a , tratando como uma constante:
Neste caso, é tratado como uma constante e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Este vetor nos dá a direção de maior aumento da função em qualquer ponto .

Passo 6

Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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