Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(1) y' + x*y = x*y^2;
Rpt. y = 1 / (c * e^(x^2 / 2) + 1).

Passo 1

Ok, vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli que está assim:
Esse tipo de equação pertence à categoria das equações diferenciais de Bernoulli. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre essas equações e usar uma substituição para transformá-la em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar a equação em linear. Vamos definir:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Resolvendo para :

Passo 5

Substituímos na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Mas sabemos que , então:

Passo 6

Rearranjando a equação:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Onde e .

Passo 7

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é uma função familiar:
Então:

Passo 10

Agora, isolamos :
Lembrando que :

Passo 11

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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