Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(1)
;
Rpt.
.
(1)
Rpt.
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli que está assim:
Esse tipo de equação pertence à categoria das equações diferenciais de Bernoulli. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre essas equações e usar uma substituição para transformá-la em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação de Bernoulli tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para transformar a equação em linear. Vamos definir:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Mas sabemos que
, então:
Passo 6
Rearranjando a equação:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 7
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é uma função familiar:
Então:
Passo 10
Agora, isolamos
:
Lembrando que
:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(4) .
(4)
Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.
Sabendo que a meia-vida do Carbono-14 é de aproximadamente
anos e que para um certo fóssil,
, qual a idade do fóssil em consideração?
Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
d)
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