Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de contorno que envolve uma equação diferencial:
com as condições
. Nosso objetivo é encontrar os autovalores (
) e as autofunções (
) que satisfazem essa equação com essas condições. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende dos valores de
.
A equação característica associada é
. Resolvendo para
, temos:
Isso indica que as soluções são funções trigonométricas. Portanto, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Como
, temos
. Assim, a solução simplifica para:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a segunda condição de contorno
:
Para que isso seja verdade, precisamos que
. Sabemos que o seno de um múltiplo de
é zero, então:
onde
é um número inteiro positivo (
).
Passo 5
Resolvendo para
, temos os autovalores:
Agora, substituímos
na solução para encontrar as autofunções correspondentes:
Podemos escolher
para normalizar as funções se necessário, mas geralmente deixamos como constante multiplicativa.
Resposta
Os autovalores são
para
e as autofunções correspondentes são
.