Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
f) y'' + lambda^2 y = 0, y(0) = 0, y(L) = 0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de contorno que envolve uma equação diferencial: com as condições . Nosso objetivo é encontrar os autovalores ( ) e as autofunções ( ) que satisfazem essa equação com essas condições. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende dos valores de .
A equação característica associada é . Resolvendo para , temos:
Isso indica que as soluções são funções trigonométricas. Portanto, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, aplicamos :
Como , temos . Assim, a solução simplifica para:

Passo 4

Em seguida, aplicamos a segunda condição de contorno :
Para que isso seja verdade, precisamos que . Sabemos que o seno de um múltiplo de é zero, então:
onde é um número inteiro positivo ( ).

Passo 5

Resolvendo para , temos os autovalores:
Agora, substituímos na solução para encontrar as autofunções correspondentes:
Podemos escolher para normalizar as funções se necessário, mas geralmente deixamos como constante multiplicativa.

Resposta

Os autovalores são para e as autofunções correspondentes são .

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