Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções de
e
para a equação de derivadas parciais dada:
Vamos precisar entender como separar as variáveis e resolver as equações resultantes para
e
.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma de
e outra de
:
Isso simplifica a equação original, pois agora podemos separar as partes que dependem de
e de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
e
são a segunda e primeira derivadas de
em relação a
, respectivamente.
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação por
, obtemos:
Perceba que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos
.
Passo 5
Então, temos duas equações separadas:
- Para
:
Que simplifica para:
- Para
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com solução geral:
onde
e
são constantes.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução depende das raízes da equação característica:
As raízes são:
Passo 8
Dependendo do valor de
, temos três casos:
-
: As raízes são complexas, e a solução é:
-
: As raízes são reais e iguais, então a solução é:
-
: As raízes são reais e distintas, então a solução é:
Resposta
Assim, as soluções em forma de produto para a equação dada são:
onde
é dada de acordo com o caso de
em relação a
, conforme detalhado nos passos acima.