Resolva os problemas de contorno via transformada de Laplace:
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de contorno envolvendo a equação das ondas:
partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < 1, , t > 0
As condições de contorno são e . As condições iniciais são e .
Vamos resolver isso utilizando a transformada de Laplace, que vai nos ajudar a transformar a equação diferencial parcial em uma equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em relação ao tempo Lpartial^2 upartial t^2 = s^2 U(x, s) - s u(x, 0) - partial upartial t|t=0 na equação das ondas. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada de segunda ordem no tempo é:
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
partial^2 Upartial x^2 - s^2 U = 0
A solução geral para essa equação é:
Uh(x, s) = A(s) e^s x + B(s) e^-s x
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular Up(x, s) = C1 sin(pi x) + C2 sin(3pi x) para a equação completa. Como o lado direito é uma combinação de senos, tentamos uma solução particular na forma:
A solução geral U(x, s) = A(s) e^s x + B(s) e^-s x + 2pi^2 + s^2 sin(pi x) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi x) é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar e .
Passo 7
Aplicamos a condição de contorno A(s) + B(s) + 2pi^2 + s^2 sin(0) + 49pi^2 + s^2 sin(0) = 0 . Na transformada, isto significa A(s) + B(s) = 0 Rightarrow B(s) = -A(s) :
Como , temos:
Passo 8
Aplicamos a outra condição de contorno U(1, s) = A(s) e^s + B(s) e^-s + 2pi^2 + s^2 sin(pi) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi) = 0 . Na transformada: