Resolva os problemas de contorno via transformada de Laplace:
b) lpartial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00 u(0, t)=0, u(1, t)=0 u(x, 0)=0,partial upartial t|t=0=2 sen pi x+4 sen 3 pi x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de contorno envolvendo a equação das ondas:
partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < 1, , t > 0
As condições de contorno são e . As condições iniciais são e .
Vamos resolver isso utilizando a transformada de Laplace, que vai nos ajudar a transformar a equação diferencial parcial em uma equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em relação ao tempo Lpartial^2 upartial t^2 = s^2 U(x, s) - s u(x, 0) - partial upartial t|t=0 na equação das ondas. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada de segunda ordem no tempo é:
partial^2 Upartial x^2 = s^2 U(x, s) - (2 sin(pi x) + 4 sin(3pi x))
Onde é a transformada de Laplace de .
Como , essa parte desaparece. Então, após aplicar a transformada de Laplace na equação original, temos:

Passo 3

Agora, reorganizamos a equação para deixá-la homogênea:
partial^2 Upartial x^2 - s^2 U(x, s) = -2 sin(pi x) - 4 sin(3pi x)
Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
partial^2 Upartial x^2 - s^2 U = 0
A solução geral para essa equação é:
Uh(x, s) = A(s) e^s x + B(s) e^-s x
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular Up(x, s) = C1 sin(pi x) + C2 sin(3pi x) para a equação completa. Como o lado direito é uma combinação de senos, tentamos uma solução particular na forma:
partial^2 Uppartial x^2 - s^2 Up = -2 sin(pi x) - 4 sin(3pi x)
Substituindo na equação diferencial:
-pi^2 C1 sin(pi x) - 9pi^2 C2 sin(3pi x) - s^2 (C1 sin(pi x) + C2 sin(3pi x)) = -2 sin(pi x) - 4 sin(3pi x)
Calculando as segundas derivadas:
(-pi^2 - s^2) C1 sin(pi x) + (-9pi^2 - s^2) C2 sin(3pi x) = -2 sin(pi x) - 4 sin(3pi x)
Agrupando os termos:
(-pi^2 - s^2) C1 = -2 Rightarrow C1 = 2pi^2 + s^2
Igualando os coeficientes:
(-9pi^2 - s^2) C2 = -4 Rightarrow C2 = 49pi^2 + s^2
Up(x, s) = 2pi^2 + s^2 sin(pi x) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi x)
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral U(x, s) = A(s) e^s x + B(s) e^-s x + 2pi^2 + s^2 sin(pi x) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi x) é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar e .

Passo 7

Aplicamos a condição de contorno A(s) + B(s) + 2pi^2 + s^2 sin(0) + 49pi^2 + s^2 sin(0) = 0 . Na transformada, isto significa A(s) + B(s) = 0 Rightarrow B(s) = -A(s) :
Como , temos:

Passo 8

Aplicamos a outra condição de contorno U(1, s) = A(s) e^s + B(s) e^-s + 2pi^2 + s^2 sin(pi) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi) = 0 . Na transformada:
A(s) e^s - A(s) e^-s = 0 Rightarrow A(s)(e^s - e^-s) = 0
Como e , a equação fica:
Para , temos . Portanto, .

Passo 9

Com U(x, s) = 2pi^2 + s^2 sin(pi x) + 49pi^2 + s^2 sin(3pi x) , a solução na transformada fica:
Agora, precisamos inverter a transformada de Laplace para encontrar .

Passo 10

Sabemos que:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
Aplicando isso à nossa solução:
u(x, t) = 2 cdot sin(pi t)pi sin(pi x) + 4 cdot sin(3pi t)3pi sin(3pi x)
Simplificando:
u(x, t) = 2pi sin(pi t) sin(pi x) + 43pi sin(3pi t) sin(3pi x)

Resposta

A solução do problema é
u(x, t) = 2pi sin(pi t) sin(pi x) + 43pi sin(3pi t) sin(3pi x)

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