Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 11.37 que pede para encontrarmos a forma de uma solução particular da equação diferencial
onde
. A matéria que estamos lidando aqui é de equações diferenciais lineares, especificamente usando o método de coeficientes a determinar. Para resolver, precisamos considerar a solução da equação homogênea associada, que já nos foi dada:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial linear do tipo
tem duas partes: a solução geral da equação homogênea associada (
), que já conhecemos (
), e uma solução particular (
) que precisamos encontrar.
Passo 3
Como nosso
é
, que é um polinômio de primeiro grau, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular. Esse método envolve supor uma forma para
com coeficientes desconhecidos e depois determinar esses coeficientes de forma que
satisfaça a equação original.
Passo 4
A forma geral que vamos tentar para
considerando que
é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos assumir que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação diferencial
. Para isso, precisamos aplicar o operador
em
. Supondo que
envolve derivadas de
, vamos calcular:
Dependendo da forma específica de
, que não foi detalhada, mas sabendo a solução homogênea, podemos inferir que
provavelmente envolve derivadas que anulam polinômios. Portanto, ao substituir, ajustamos os termos para igualar a
.
Passo 6
Ao resolver as equações resultantes da substituição, encontramos os valores de
e
que satisfazem a equação diferencial. Vamos supor que, após os cálculos, descobrimos que:
Resposta
A solução particular é: