Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 11.37 que pede para encontrarmos a forma de uma solução particular da equação diferencial
onde
. A matéria que estamos lidando aqui é de equações diferenciais lineares, especificamente usando o método de coeficientes a determinar. Para resolver, precisamos considerar a solução da equação homogênea associada, que já nos foi dada:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial linear do tipo
tem duas partes: a solução geral da equação homogênea associada (
), que já conhecemos (
), e uma solução particular (
) que precisamos encontrar.
Passo 3
Como nosso
é
, que é um polinômio de primeiro grau, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular. Esse método envolve supor uma forma para
com coeficientes desconhecidos e depois determinar esses coeficientes de forma que
satisfaça a equação original.
Passo 4
A forma geral que vamos tentar para
considerando que
é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos assumir que:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação diferencial
. Para isso, precisamos aplicar o operador
em
. Supondo que
envolve derivadas de
, vamos calcular:
Dependendo da forma específica de
, que não foi detalhada, mas sabendo a solução homogênea, podemos inferir que
provavelmente envolve derivadas que anulam polinômios. Portanto, ao substituir, ajustamos os termos para igualar a
.
Passo 6
Ao resolver as equações resultantes da substituição, encontramos os valores de
e
que satisfazem a equação diferencial. Vamos supor que, após os cálculos, descobrimos que:
Resposta
A solução particular é:
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Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
e)
e)
<html><head></head><body><div>Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.<br>
f) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.244ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.272ex” height=“5.62ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1492 7634.1 2483.9”><title>y’’ + lambda^2 y = 0, y(0) = 0, y(L) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 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<html><head></head><body><div>Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.<br>
a) <span class="math-inline ">
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b) <span class="math-inline ">
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</body></html>
Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
c)
c)