Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x) = phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x) = 0 for x_h = c_1 + c_2 * e^t + c_3 * t * e^t.
11.37 phi(t) = t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 11.37 que pede para encontrarmos a forma de uma solução particular da equação diferencial onde . A matéria que estamos lidando aqui é de equações diferenciais lineares, especificamente usando o método de coeficientes a determinar. Para resolver, precisamos considerar a solução da equação homogênea associada, que já nos foi dada: x_h = c_1 + c_2 * e^t + c_3 * t * e^t.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial linear do tipo tem duas partes: a solução geral da equação homogênea associada ( ), que já conhecemos ( ), e uma solução particular ( ) que precisamos encontrar.

Passo 3

Como nosso phi(t) é t, que é um polinômio de primeiro grau, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular. Esse método envolve supor uma forma para com coeficientes desconhecidos e depois determinar esses coeficientes de forma que satisfaça a equação original.

Passo 4

A forma geral que vamos tentar para considerando que é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos assumir que:
onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação diferencial . Para isso, precisamos aplicar o operador em . Supondo que envolve derivadas de x, vamos calcular:
Dependendo da forma específica de , que não foi detalhada, mas sabendo a solução homogênea, podemos inferir que provavelmente envolve derivadas que anulam polinômios. Portanto, ao substituir, ajustamos os termos para igualar a .

Passo 6

Ao resolver as equações resultantes da substituição, encontramos os valores de A e B que satisfazem a equação diferencial. Vamos supor que, após os cálculos, descobrimos que:

Resposta

A solução particular é:

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