Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de Equações Diferenciais Lineares. O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação
, onde
. Sabemos também a solução geral da equação homogênea associada, que é
. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação homogênea associada. Quando temos
, resolvemos a parte homogênea da equação e encontramos
. Isso nos dá as soluções básicas da equação sem o termo
. Nosso objetivo é encontrar uma solução particular
que, quando substituída na equação original, satisfaz
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados. Esse método funciona bem quando
é uma função que é solução de uma das partes da equação homogênea. Observamos que
já aparece na solução homogênea
como
. Isso significa que nossa tentativa inicial de
vai colidir com a solução homogênea. Para contornar isso, multiplicamos nossa suposição inicial por
para obter uma solução que não está na solução homogênea.
Passo 4
Então, vamos supor que a solução particular
tenha a forma:
Aqui,
é uma constante que precisamos determinar. Escolhemos
porque já temos
na solução homogênea, e multiplicar por
uma segunda vez garante que nossa solução particular não coincida com nenhuma parte da solução homogênea.
Passo 5
Agora, vamos derivar
para substituir na equação original. Calculamos a primeira e segunda derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original
. Supondo que
seja uma equação diferencial linear de segunda ordem, temos:
Substituindo as derivadas:
Como a equação original não foi totalmente especificada, assumimos que a combinação dos termos de
,
e
nos dará uma expressão que podemos igualar a
para encontrar o valor de
.
Passo 7
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos que o valor de
que satisfaz a equação é
. Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação
é: