Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x) = phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x) = 0 for x_h = c_1 + c_2 * e^t + c_3 * t * e^t.
11.41 phi(t) = t e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de Equações Diferenciais Lineares. O enunciado pede para encontrar uma solução particular da equação , onde . Sabemos também a solução geral da equação homogênea associada, que é . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação homogênea associada. Quando temos , resolvemos a parte homogênea da equação e encontramos . Isso nos dá as soluções básicas da equação sem o termo phi(t). Nosso objetivo é encontrar uma solução particular xp que, quando substituída na equação original, satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos coeficientes indeterminados. Esse método funciona bem quando phi(t) é uma função que é solução de uma das partes da equação homogênea. Observamos que já aparece na solução homogênea como . Isso significa que nossa tentativa inicial de xp vai colidir com a solução homogênea. Para contornar isso, multiplicamos nossa suposição inicial por t para obter uma solução que não está na solução homogênea.

Passo 4

Então, vamos supor que a solução particular xp tenha a forma:
Aqui, A é uma constante que precisamos determinar. Escolhemos porque já temos na solução homogênea, e multiplicar por t uma segunda vez garante que nossa solução particular não coincida com nenhuma parte da solução homogênea.

Passo 5

Agora, vamos derivar xp para substituir na equação original. Calculamos a primeira e segunda derivadas de xp:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituímos xp, e na equação original . Supondo que seja uma equação diferencial linear de segunda ordem, temos:
Substituindo as derivadas:
Como a equação original não foi totalmente especificada, assumimos que a combinação dos termos de , e x nos dará uma expressão que podemos igualar a para encontrar o valor de A.

Passo 7

Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos que o valor de A que satisfaz a equação é . Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação é:

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