Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a população de uma cidade que cresce de forma proporcional à própria população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população atual. Isso trata de equações diferenciais, que são usadas para modelar como algo muda ao longo do tempo. Aqui, vamos precisar entender como montar a equação diferencial a partir das informações dadas e depois resolvê-la para encontrar , ou seja, a população em um tempo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a frase “a população aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população” em termos matemáticos. Quando dizemos que algo é proporcional, significa que podemos multiplicar por uma constante de proporcionalidade, que vamos chamar de .
Então, a taxa de variação da população em relação ao tempo, que é , é proporcional a (a população atual) e a (a diferença entre 150.000 e a população atual). Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Essa equação é conhecida como equaç��o logística, que é comum em modelos de crescimento populacional onde há um limite de capacidade, no caso, 150.000 pessoas. O próximo passo é resolver essa equação diferencial para encontrar .
Para resolver, vamos separar as variáveis e :

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda envolve uma fração que pode ser decomposta usando frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 150.000:
Onde .

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Primeiro, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde é outra constante.

Passo 8

Isolando , temos:

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais, renomeando a constante para :
Essa é a solução geral da equação diferencial, onde dá a população em função do tempo .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante que depende das condições iniciais da população.

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