Exprimir cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial e obter a solução para um tempo t se possível.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a população
de uma cidade que cresce de forma proporcional à própria população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população atual. Isso trata de equações diferenciais, que são usadas para modelar como algo muda ao longo do tempo. Aqui, vamos precisar entender como montar a equação diferencial a partir das informações dadas e depois resolvê-la para encontrar
, ou seja, a população em um tempo
específico.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a frase “a população aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 150.000 pessoas e a população” em termos matemáticos. Quando dizemos que algo é proporcional, significa que podemos multiplicar por uma constante de proporcionalidade, que vamos chamar de
.
Então, a taxa de variação da população em relação ao tempo, que é
, é proporcional a
(a população atual) e a
(a diferença entre 150.000 e a população atual). Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Essa equação é conhecida como equaç��o logística, que é comum em modelos de crescimento populacional onde há um limite de capacidade, no caso, 150.000 pessoas. O próximo passo é resolver essa equação diferencial para encontrar
.
Para resolver, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda envolve uma fração que pode ser decomposta usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 150.000:
Onde
.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde
é outra constante.
Passo 8
Isolando
, temos:
Passo 9
Podemos simplificar ainda mais, renomeando a constante
para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial, onde
dá a população em função do tempo
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante que depende das condições iniciais da população.
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