Determine os autovalores e os autovetores das matrizes: Omega=(lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver uma equação característica que envolve , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, montamos a equação característica:
det(Omega - lambda I) = 0
A matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 de ordem 3 é:
Omega - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & -lambda
Então, fica:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(Omega - lambda I) = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & -lambda
Como a matriz é triangular inferior, o determinante �� o produto dos elementos da diagonal principal:
det(Omega - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Mas também podemos expandir o determinante para confirmar:
det(Omega - lambda I) = -lambda -lambda & 0 0 & -lambda - 1 1 & 0 0 & -lambda + 0 = -lambda (lambda^2) - 1 (-lambda) = -lambda^3 + lambda

Passo 4

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + lambda = 0 lambda(-lambda^2 + 1) = 0
Resolvendo essa equação:
lambda = 0 ou -lambda^2 + 1 = 0 lambda^2 = 1 lambda = pm 1
Então, os autovalores são , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos fazer isso resolvendo o sistema Omega - I = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 para cada - v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0 - v3 = 0 .
Para v1 = 1 1 0 :
Omega + I = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Resolvendo:
v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0 v3 = 0
Da primeira equação, v2 = 1 -1 0 e da terceira, Omega = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 . Então, um autovetor é:
v2 = 0 v1 = 0 0 cdot v3 = 0
Para v3 = 0 0 1 :
Resolvendo:
Da primeira equação, e da terceira, . Então, um autovetor é:
Para :
Resolvendo:
Então, , e pode ser qualquer valor. Portanto, um autovetor é:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 1 0 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 0 0 1 são , e , com os respectivos autovetores:

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