Suponha uma base completa
de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador
seja:
a) Determine a representação do operador nessa base;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base completa de vetores ortonormais
e um operador
que atua nesses vetores de um jeito específico. A missão aqui é descobrir como fica a representação matricial desse operador nessa base. Para isso, vamos precisar entender como
age em cada vetor da base e usar isso pra montar a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a representação matricial de um operador em uma base é formada pelas coordenadas de como esse operador atua sobre cada vetor da base. Ou seja, se a gente sabe como
transforma cada vetor da base, consegue montar a matriz coluna por coluna.
Passo 3
Vamos começar vendo como
age em
. Segundo o enunciado:
Isso significa que, na base dada, a primeira coluna da matriz de
será
para
,
para
, e
para
(já que
não aparece).
Passo 4
Agora, vamos ver a ação de
em
:
Então, a segunda coluna da matriz será
para
,
para
, e
para
.
Passo 5
Por fim, precisamos considerar como
age em
. O enunciado não especifica isso, então assumimos que
, ou seja, o operador atua como a identidade nesse vetor. Assim, a terceira coluna da matriz será
para
,
para
, e
para
.
Resposta
A representação matricial do operador
na base
é: