Suponha uma base completa |arang<=,|brang<=,|crang<= de vetores ortonormais, tal que, a ação do operador A seja:
& A|arang<==1raiz2(|arang<=+|brang<=) & A|brang<==1raiz2(|arang<=-|brang<=)
a) Determine a representação do operador nessa base;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base completa de vetores ortonormais |arang<=, |brang<=, |crang<= e um operador A que atua nesses vetores de um jeito específico. A missão aqui é descobrir como fica a representação matricial desse operador nessa base. Para isso, vamos precisar entender como A age em cada vetor da base e usar isso pra montar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a representação matricial de um operador em uma base é formada pelas coordenadas de como esse operador atua sobre cada vetor da base. Ou seja, se a gente sabe como A transforma cada vetor da base, consegue montar a matriz coluna por coluna.

Passo 3

Vamos começar vendo como A age em |arang<=. Segundo o enunciado:
A|arang<= = 1raiz2(|arang<= + |brang<=)
Isso significa que, na base dada, a primeira coluna da matriz de A será 1raiz2 para |arang<=, 1raiz2 para |brang<=, e 0 para |crang<= (já que |crang<= não aparece).

Passo 4

Agora, vamos ver a ação de A em |brang<=:
A|brang<= = 1raiz2(|arang<= - |brang<=)
Então, a segunda coluna da matriz será 1raiz2 para |arang<=, -1raiz2 para |brang<=, e 0 para |crang<=.

Passo 5

Por fim, precisamos considerar como A age em |crang<=. O enunciado não especifica isso, então assumimos que A|crang<= = |crang<=, ou seja, o operador atua como a identidade nesse vetor. Assim, a terceira coluna da matriz será 0 para |arang<=, 0 para |brang<=, e 1 para |crang<=.

Resposta

A representação matricial do operador A na base |arang<=, |brang<=, |crang<= é:
A = 1raiz2 & 1raiz2 & 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 0 & 0 & 1

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