Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor mínimo relativo de se com as restrições e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o mínimo relativo da função sujeita às restrições e . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele nos diz que, para encontrar os extremos de sujeitos às restrições, precisamos resolver um sistema de equações onde o gradiente de é igual a uma combinação linear dos gradientes das restrições. Ou seja:
Aqui, e são os multiplicadores de Lagrange, e e são as restrições.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes. O gradiente de é:
Os gradientes das restrições são:

Passo 4

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Além disso, não podemos esquecer das restrições:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, vamos usar as restrições (4) e (5) com a relação obtida em (8).
Da restrição (4):
Da restrição (5):

Passo 7

Agora temos o sistema de duas equações com duas variáveis:
Vamos resolver o sistema. Primeiramente, isolamos na equação (10):
Substituímos na equação (9):

Passo 8

Com , encontramos :
Agora, encontramos usando a equação (8):

Passo 9

Finalmente, temos os valores que minimizam :

Resposta

O valor mínimo relativo ocorre em .

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Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz :
A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por e , cujos preços po unidade são, respectivamente, e , e a quantidade produzida é dada por , cujo preço por unidade é . Determine o lucro total máximo.
Determine as retas tangente e normal à curva que sejam perpendiculares à reta .
Determine, se existirem,os extremos de .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .