Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor mínimo relativo de
se
com as restrições
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o mínimo relativo da função
sujeita às restrições
e
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele nos diz que, para encontrar os extremos de
sujeitos às restrições, precisamos resolver um sistema de equações onde o gradiente de
é igual a uma combinação linear dos gradientes das restrições. Ou seja:
Aqui,
e
são os multiplicadores de Lagrange, e
e
são as restrições.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes. O gradiente de
é:
Os gradientes das restrições são:
Passo 4
Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:
Além disso, não podemos esquecer das restrições:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Da equação (3):
Substituindo
na equação (1):
Agora, substituindo
e
na equação (2):
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, vamos usar as restrições (4) e (5) com a relação obtida em (8).
Da restrição (4):
Da restrição (5):
Passo 7
Agora temos o sistema de duas equações com duas variáveis:
Vamos resolver o sistema. Primeiramente, isolamos
na equação (10):
Substituímos
na equação (9):
Passo 8
Com
, encontramos
:
Agora, encontramos
usando a equação (8):
Passo 9
Finalmente, temos os valores que minimizam
:
Resposta
O valor mínimo relativo ocorre em
.