Determine as retas tangente e normal à curva f(x) = x^3/3 - 1 que sejam perpendiculares à reta x + y = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva e queremos encontrar as retas tangentes e normais a essa curva que sejam perpendiculares à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e normais, além de analisar as condições de perpendicularidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Isso significa que a inclinação da tangente em um ponto é .

Passo 3

A reta pode ser reescrita na forma , o que nos mostra que sua inclinação é .
Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Então, se a inclinação da reta tangente é , queremos que:

Passo 4

Como a inclinação da tangente é dada por , igualamos a 1 para encontrar os valores de onde a reta tangente tem inclinação 1:

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos na curva para e :
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes com inclinação 1 que passam por esses pontos. A equação da reta tangente é dada por:
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos encontrar as retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta . A reta normal tem inclinação .
Queremos que a normal seja perpendicular a , cuja inclinação é . Então:

Passo 8

Como e , temos:
Isso não tem solução real, o que significa que não existem retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta .

Resposta

As retas tangentes à curva que são perpendiculares à reta são:
Não existem retas normais que atendam a essa condição.

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