Determine as retas tangente e normal à curva que sejam perpendiculares à reta .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva e queremos encontrar as retas tangentes e normais a essa curva que sejam perpendiculares à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e normais, além de analisar as condições de perpendicularidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Isso significa que a inclinação da tangente em um ponto é .
Passo 3
A reta pode ser reescrita na forma , o que nos mostra que sua inclinação é .
Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Então, se a inclinação da reta tangente é , queremos que:
Passo 4
Como a inclinação da tangente é dada por , igualamos a 1 para encontrar os valores de onde a reta tangente tem inclinação 1:
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos na curva para e :
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes com inclinação 1 que passam por esses pontos. A equação da reta tangente é dada por:
Para :
Para :
Passo 7
Agora, vamos encontrar as retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta . A reta normal tem inclinação .
Queremos que a normal seja perpendicular a , cuja inclinação é . Então:
Passo 8
Como e , temos:
Isso não tem solução real, o que significa que não existem retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta .
Resposta
As retas tangentes à curva que são perpendiculares à reta são:
Não existem retas normais que atendam a essa condição.