Determine as retas tangente e normal à curva
que sejam perpendiculares à reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva
e queremos encontrar as retas tangentes e normais a essa curva que sejam perpendiculares à reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e normais, além de analisar as condições de perpendicularidade.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Isso significa que a inclinação da tangente em um ponto
é
.
Passo 3
A reta
pode ser reescrita na forma
, o que nos mostra que sua inclinação
é
.
Duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Então, se a inclinação da reta tangente é
, queremos que:
Passo 4
Como a inclinação da tangente é dada por
, igualamos a 1 para encontrar os valores de
onde a reta tangente tem inclinação 1:
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos na curva para
e
:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes com inclinação 1 que passam por esses pontos. A equação da reta tangente é dada por:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta
. A reta normal tem inclinação
.
Queremos que a normal seja perpendicular a
, cuja inclinação é
. Então:
Passo 8
Como
e
, temos:
Isso não tem solução real, o que significa que não existem retas normais à curva que sejam perpendiculares à reta
.
Resposta
As retas tangentes à curva
que são perpendiculares à reta
são:
Não existem retas normais que atendam a essa condição.