Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz A :
A = [[4, 5], [2, 1]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e equações características. Vamos precisar calcular o determinante da matriz A menos lambda vezes a matriz identidade I e resolver uma equação do 2º grau.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Com os autovalores encontrados ( e ), agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada lambda, resolvemos .

Passo 8

Primeiro, para :
Resolvemos:
Essas duas equações são equivalentes. Vamos expressar em função de :
Podemos escolher para simplificar, então .
Então, o autovetor correspondente a é:

Passo 9

Agora, para :
Resolvemos:
Novamente, as equações são equivalentes. Vamos expressar em função de :
Podemos escolher , então .
Então, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz A são e , com os respectivos autovetores:

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