Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz :

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e equações características. Vamos precisar calcular o determinante da matriz menos vezes a matriz identidade e resolver uma equação do 2º grau.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Com os autovalores encontrados ( e ), agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos .

Passo 8

Primeiro, para :
Resolvemos:
Essas duas equações são equivalentes. Vamos expressar em função de :
Podemos escolher para simplificar, então .
Então, o autovetor correspondente a é:

Passo 9

Agora, para :
Resolvemos:
Novamente, as equações são equivalentes. Vamos expressar em função de :
Podemos escolher , então .
Então, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores:

Exercícios relacionados

Encontre a soma das séries a seguir:
(a)
© Use o item (b) para achar uma série de potências para .
Determine as retas tangente e normal à curva no ponto .
Uma ilha está localizada em um ponto distante 6 km de um ponto mais próximo em uma praia reta. Um armazém está situado em um ponto C da praia, 7 Km à direita do ponto B .
Se um homem pode remar a razão de e caminhar com uma velocidade de , determine o ponto onde ele deveria desembarcar, na praia, para ir da ilha até o armazém no menor tempo possível.