Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e equações características. Vamos precisar calcular o determinante da matriz
menos
vezes a matriz identidade
e resolver uma equação do 2º grau.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Com os autovalores encontrados (
e
), agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada
, resolvemos
.
Passo 8
Primeiro, para
:
Resolvemos:
Essas duas equações são equivalentes. Vamos expressar
em função de
:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Então, o autovetor correspondente a
é:
Passo 9
Agora, para
:
Resolvemos:
Novamente, as equações são equivalentes. Vamos expressar
em função de
:
Podemos escolher
, então
.
Então, o autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os respectivos autovetores: