Encontre a soma das séries a seguir:
(a) sumn=1^infty n x^n,|x|<1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série sumn=1^infty n x^n, onde |x| < 1. Esse problema envolve conceitos de séries infinitas e manipulação de somas de termos. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de séries geométricas e derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x| < 1
Essa fórmula será a base para encontrar a soma da nossa série.

Passo 3

Agora, para trazer o termo n na nossa série, vamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a x:
ddx(sumn=0^infty x^n) = ddx(11 - x)

Passo 4

Calculando as derivadas, temos:
sumn=0^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
Multiplicando ambos os lados por x para ajustar o índice da soma:
sumn=0^infty n x^n = x(1 - x)^2

Passo 5

Finalmente, ajustando o índice da soma para começar em n=1 (já que o termo n=0 é zero):
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2

Resposta

A soma da série é x(1 - x)^2 para |x| < 1.

Exercícios relacionados