Uma ilha está localizada em um ponto
distante 6 km de um ponto
mais próximo em uma praia reta. Um armazém está situado em um ponto C da praia, 7 Km à direita do ponto B .
Se um homem pode remar a razão de
e caminhar com uma velocidade de
, determine o ponto onde ele deveria desembarcar, na praia, para ir da ilha até o armazém no menor tempo possível.
Se um homem pode remar a razão de
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um cara que está numa ilha (ponto A) e quer ir até um armazém na praia (ponto C). A praia é uma linha reta, e o ponto B é o mais próximo da ilha na praia. A ilha está a 6 km de B, e o armazém está 7 km à direita de B, no ponto C. O cara pode remar a 4 km/h e caminhar a 5 km/h. Nosso objetivo é descobrir onde ele deve desembarcar na praia para chegar ao armazém no menor tempo possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e um pouco de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a praia como uma linha reta horizontal. O ponto B é o ponto mais próximo da ilha na praia. O ponto C está 7 km à direita de B. O cara vai remar da ilha (A) até algum ponto D na praia e depois caminhar de D até C. Queremos achar a posição de D que minimize o tempo total da viagem.
Passo 3
Vamos chamar a distância de D a B de
km. Se D está à direita de B,
será positivo, e se estiver à esquerda, será negativo. A distância que ele vai remar é a hipotenusa do triângulo formado por 6 km (AB) e
km (BD). Usando o Teorema de Pitágoras, a distância de A a D é
.
Passo 4
O tempo que ele leva para remar é a distância dividida pela velocidade de remo, ou seja:
Depois de desembarcar, ele precisa caminhar da D até C. Como C está 7 km à direita de B, e D está a
km de B, a distância a pé é
km. O tempo para caminhar é:
Passo 5
O tempo total é a soma do tempo de remo e do tempo de caminhada:
Queremos minimizar
. Para isso, vamos derivar essa função em relação a
e encontrar onde a derivada é zero.
Passo 6
Vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 25 para eliminar a fração:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
representa a distância para a direita, descartamos
.
Resposta
O homem deve desembarcar a 8 km à direita do ponto B na praia para chegar ao armazém no menor tempo possível.
Exercícios relacionados
Determine as retas tangente e normal à curva
no ponto
.
Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz
:
Supondo que
possua uma expansão em serie de potências, obtenha a serie de Taylor de cada
centrada em
:
(a)
(a)