Determine as retas tangente e normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as retas tangente e normal à curva no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, daí, determinar a reta normal que é perpendicular à tangente. Vamos precisar entender derivadas básicas e como usar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de é e a derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto onde . Basta substituir 1 na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 4

Com a inclinação da tangente e o ponto onde , podemos achar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação: . Primeiro, vamos achar o valor de quando :
Então, o ponto é (1, 2) e a inclinação . Substituindo na fórmula:
Resolvendo para :

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é 2:

Passo 6

Agora, usamos a mesma fórmula ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal. Com o ponto (1, 2) e a inclinação :
Resolvendo para :

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

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Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz :
Encontre a soma das séries a seguir:
(a)
Uma ilha está localizada em um ponto distante 6 km de um ponto mais próximo em uma praia reta. Um armazém está situado em um ponto C da praia, 7 Km à direita do ponto B .
Se um homem pode remar a razão de e caminhar com uma velocidade de , determine o ponto onde ele deveria desembarcar, na praia, para ir da ilha até o armazém no menor tempo possível.