Determine as retas tangente e normal à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar as retas tangente e normal à curva
no ponto onde
. Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e, daí, determinar a reta normal que é perpendicular à tangente. Vamos precisar entender derivadas básicas e como usar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada,
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
é
e a derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto onde
. Basta substituir 1 na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 4
Com a inclinação da tangente e o ponto onde
, podemos achar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
. Primeiro, vamos achar o valor de
quando
:
Então, o ponto é (1, 2) e a inclinação
. Substituindo na fórmula:
Resolvendo para
:
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Isso significa que a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é 2:
Passo 6
Agora, usamos a mesma fórmula ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal. Com o ponto (1, 2) e a inclinação
:
Resolvendo para
:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto
é
e a reta normal é
.
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:
Encontre a soma das séries a seguir:
(a)
(a)
Uma ilha está localizada em um ponto
distante 6 km de um ponto
mais próximo em uma praia reta. Um armazém está situado em um ponto C da praia, 7 Km à direita do ponto B .
Se um homem pode remar a razão de e caminhar com uma velocidade de
, determine o ponto onde ele deveria desembarcar, na praia, para ir da ilha até o armazém no menor tempo possível.
Se um homem pode remar a razão de