determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar saber como resolver equações características e entender o que são autovalores e vetores associados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são números que, quando a matriz é multiplicada por um vetor próprio, o resultado é o mesmo vetor multiplicado por esse número.
Para encontrar os autovalores, usamos a equação característica, que é dada por:
Onde:
-
é a matriz dada, -
é o autovalor, -
é a matriz identidade do mesmo tamanho que , -
representa o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, o único autovalor é
com multiplicidade 2.
Passo 5
Agora que temos o autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
.
Os autovetores satisfazem a equação:
Substituindo
:
$$
$$
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
A primeira equação simplifica para:
A segunda equação não nos dá nenhuma nova informação.
Passo 7
Com
, o vetor próprio fica:
Aqui,
pode ser qualquer número real diferente de zero (já que o vetor não pode ser o vetor nulo). Geralmente, escolhemos
para simplificar.
Resposta
Os autovalores da matriz são
com multiplicidade 2. Um autovetor correspondente é: