determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
[ll1 & 2 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
1 & 2 0 & 1
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar saber como resolver equações características e entender o que são autovalores e vetores associados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são números que, quando a matriz é multiplicada por um vetor próprio, o resultado é o mesmo vetor multiplicado por esse número.
Para encontrar os autovalores, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde:
  • é a matriz dada,
  • é o autovalor,
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que ,
  • representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(2) = (1 - lambda)^2
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
(1 - lambda)^2 = 0
Resolvendo essa equação:
1 - lambda = 0 lambda = 1
Então, o único autovalor é com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora que temos o autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes a (A - lambda I) v = 0 .
Os autovetores satisfazem a equação:
0 & 2 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Substituindo :

$$

$$

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
A primeira equação simplifica para:
2v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
A segunda equação não nos dá nenhuma nova informação.

Passo 7

Com v = v1 0 , o vetor próprio fica:
Aqui, pode ser qualquer número real diferente de zero (já que o vetor não pode ser o vetor nulo). Geralmente, escolhemos para simplificar.

Resposta

Os autovalores da matriz são v = 1 0 com multiplicidade 2. Um autovetor correspondente é:

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