determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar saber como resolver equações características e entender o que são autovalores e vetores associados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são números que, quando a matriz é multiplicada por um vetor próprio, o resultado é o mesmo vetor multiplicado por esse número.
Para encontrar os autovalores, usamos a equação característica, que é dada por:
Onde:
é a matriz dada,
é o autovalor,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que ,
representa o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, o único autovalor é com multiplicidade 2.
Passo 5
Agora que temos o autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes a .
Os autovetores satisfazem a equação:
Substituindo :
$$
$$
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
A primeira equação simplifica para:
A segunda equação não nos dá nenhuma nova informação.
Passo 7
Com , o vetor próprio fica:
Aqui, pode ser qualquer número real diferente de zero (já que o vetor não pode ser o vetor nulo). Geralmente, escolhemos para simplificar.
Resposta
Os autovalores da matriz são com multiplicidade 2. Um autovetor correspondente é: