determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada. Esse assunto faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como encontrá-los usando determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor ( A cdot v = lambda cdot v ) de uma matriz det(A - lambda I) = 0 é um número que, quando multiplicado por um autovetor ( ), satisfaz a equação:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz, que é:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz I = [ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ] . Primeiramente, a matriz identidade lambda I = [ccc lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda ] para uma matriz 3x3 é:
A - lambda I = [ccc 1 - lambda & 1 & 2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 1 & 2 - lambda ]
Então, multiplicando por :
Agora, subtraímos isso da matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 1 & 2 - lambda :
= (1 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1)] - 1[1(2 - lambda) - 1(1)] + 2[1(1) - (2 - lambda)(1)]
Expandindo o determinante:
= (1 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - 1[2 - lambda - 1] + 2[1 - (2 - lambda)]
Simplificando cada parte:
= (1 - lambda)[lambda^2 - 4lambda + 3] - 1(1 - lambda) + 2(lambda - 1)
= (1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) - (1 - lambda) + 2lambda - 2
Distribuindo:
= (lambda^2 - 4lambda + 3) - lambda(lambda^2 - 4lambda + 3) -1 + lambda + 2lambda -2
= lambda^2 - 4lambda + 3 - lambda^3 + 4lambda^2 - 3lambda -1 + lambda + 2lambda -2
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda
Agrupando os termos semelhantes:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda = 0
Então, a equação característica é:
lambda(-lambda^2 + 5lambda - 4) = 0
Podemos fatorar lambda = 0 ou -lambda^2 + 5lambda - 4 = 0 :
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Resolvendo a equação:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Multiplicando por -1:
lambda = 5 + 32 = 4 e lambda = 5 - 32 = 1
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores:
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor encontrado. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
A - 0 cdot I = A = [ccc 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 ]
Para x + y + 2z = 0 x + 2y + z = 0 x + y + 2z = 0 :
(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 0 Rightarrow y - z = 0 Rightarrow y = z
Resolvendo x + z + 2z = 0 Rightarrow x + 3z = 0 Rightarrow x = -3z :
Isso nos dá o sistema:
v = z cdot [c -3 1 1 ]
Simplificando, vemos que a terceira equação é igual à primeira. Resolvendo as duas equações restantes:
Subtraindo a primeira da segunda:
v = [c -3 1 1 ]
Substituindo A - I = [ccc 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ] na primeira equação:
0x + y + 2z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0
Então, podemos expressar o autovetor como:
x - 2z + z = 0 Rightarrow x - z = 0 Rightarrow x = z
Podemos escolher v = z cdot [c 1 -2 1 ] , então um autovetor para v = [c 1 -2 1 ] é:
A - 4I = [ccc -3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 ]
Para -3x + y + 2z = 0 x - 2y + z = 0 x + y - 2z = 0 :
x = 2y - z
Resolvendo (2y - z) + y - 2z = 0 Rightarrow 3y - 3z = 0 Rightarrow y = z :
Sistema:
-3y + y + 2y = 0 Rightarrow 0 = 0
As duas últimas equações são iguais. Da primeira equação, temos v = y cdot [c 1 1 1 ] .
Substituindo v = [c 1 1 1 ] na segunda equação:
Então, o autovetor é:
Escolhendo , um autovetor para é:
Para :
Resolvendo :
Sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo e na primeira equa�o:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Escolhendo , um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
  • c -3 1 1 com autovetor c 1 -2 1
  • c 1 1 1 com autovetor
  • com autovetor

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