Seja um subconjunto de . Pergunta-se: é um conjunto linearmente independente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre independência linear! O enunciado nos dá um conjunto em . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é linearmente independente. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como verificar isso usando combinações lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se só tem solução quando , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com os vetores de como colunas:
Vamos chamar essa matriz de . Se o determinante de for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são dependentes.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = i cdot 1 cdot (-1-i) + 2 cdot 4 cdot 2 + (5-2i) cdot (1-i) cdot (-i) - (5-2i) cdot 1 cdot 2 - i cdot 4 cdot (-i) - 2 cdot (1-i) cdot (-1-i) . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui: