Seja B=(i, 1-i, 2),(2,1,-i),(5-2 i, 4,-1-i) um subconjunto de C^3. Pergunta-se:
B é um conjunto linearmente independente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre independência linear! O enunciado nos dá um conjunto em . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é linearmente independente. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como verificar isso usando combinações lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se só tem solução quando , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar isso, podemos montar uma matriz com os vetores de i & 2 & 5-2i 1-i & 1 & 4 2 & -i & -1-i como colunas:
Vamos chamar essa matriz de . Se o determinante de for diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes. Se for zero, são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = i cdot 1 cdot (-1-i) + 2 cdot 4 cdot 2 + (5-2i) cdot (1-i) cdot (-i) - (5-2i) cdot 1 cdot 2 - i cdot 4 cdot (-i) - 2 cdot (1-i) cdot (-1-i) . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 5

Calculando cada termo:
    • Primeiro,
    • Depois,
    • Primeiro,
    • Depois,

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = (-i + 1) + 16 + (-3i - 7) + (-10 + 4i) + (-4) + 4
Vamos juntar os termos semelhantes:
  • Termos reais:
  • Termos imaginários:
Então, .

Resposta

O conjunto não é linearmente independente.

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