Resolva os sistemas abaixo. Possui Solução? A Solução é única? Possui infinitas Soluções?
lx+2 y+z=3 2 x+5 y-z=-4 3 x-2 y-z=5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z). O conteúdo que vamos usar aqui é de Sistemas Lineares, especificamente resolvendo sistemas lineares por eliminação ou substituição. Precisamos determinar se o sistema possui solução, se essa solução é única ou se há infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + 2y + z = 3 (1) 2x + 5y - z = -4 (2) 3x - 2y - z = 5 (3)
Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar. Vou escolher eliminar o z porque parece mais fácil.

Passo 3

Para eliminar o z, podemos somar as equações de forma que os termos de z se cancelem. Vamos somar a equação (1) com a equação (2):
(x + 2y + z) + (2x + 5y - z) = 3 + (-4)
Simplificando:
3x + 7y = -1 (4)
Agora, vamos somar a equação (1) com a equação (3):
(x + 2y + z) + (3x - 2y - z) = 3 + 5
Simplificando:
4x = 8
Isso nos dá:
x = 2 (5)

Passo 4

Agora que já descobrimos que x = 2, vamos substituir esse valor na equação (4) para encontrar y.
3(2) + 7y = -1 6 + 7y = -1 7y = -7 y = -1 (6)

Passo 5

Com os valores de x e y encontrados, vamos substituí-los na equação (1) para encontrar z.
2 + 2(-1) + z = 3 2 - 2 + z = 3 0 + z = 3 z = 3 (7)

Resposta

O sistema possui uma única solução:
x = 2, y = -1, z = 3

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