Determine os números reais e para que a matriz seja simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os números reais e que fazem a matriz ser simétrica. Matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta, ou seja, os elementos são iguais em relação à diagonal principal. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz transposta. A transposta de uma matriz A = 2 & 1 & a+b a & 3 & -1 5 & -1 & 7 , denotada por A^T = 2 & a & 5 1 & 3 & -1 a+b & -1 & 7 , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, se a matriz é dada por:
A transposta será:
Passo 3
Para a matriz ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta . Ou seja, cada elemento deve ser igual ao elemento . Vamos comparar os elementos correspondentes de e .
Passo 4
Vamos olhar para os elementos que não estão na diagonal principal, pois os da diagonal já são iguais automaticamente.
Primeiro, comparando 1 = a de com de :
Isso nos dá a primeira equação: .
Passo 5
Agora, vamos comparar a + b = 5 de 1 + b = 5 com b = 5 - 1 b = 4 de :
Já sabemos que , então substituindo:
Resolvendo para :
Resposta
Os números reais que fazem a matriz ser simétrica são e .