Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
com a condição inicial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.
O que vamos precisar: Identificar os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução geral usando esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a determinante:
Simplificando:
Explicando, multiplicamos os termos da diagonal principal e subtraímos o produto dos termos fora da diagonal.
Passo 4
Expandindo a expressão:
Simplificando termo a termo:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Passo 6
Calculando o discriminante:
Então,
Portanto, os autovalores são e .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com .
Resolvemos :
Substituindo :
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
Podemos escolher , então:
Passo 9
De forma semelhante, encontramos o autovetor para :
Resolvemos :
Da primeira linha:
Escolhendo :
Passo 10
Agora, temos os autovalores e autovetores. A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor: