Encontre a solução de cada p.v.i. dado:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
com a condição inicial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.
O que vamos precisar: Identificar os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução geral usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a determinante:
Simplificando:
Explicando, multiplicamos os termos da diagonal principal e subtraímos o produto dos termos fora da diagonal.

Passo 4

Expandindo a expressão:
Simplificando termo a termo:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:
Então,
Portanto, os autovalores são e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com .
Resolvemos :
Substituindo :

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
Podemos escolher , então:

Passo 9

De forma semelhante, encontramos o autovetor para :
Resolvemos :
Da primeira linha:
Escolhendo :

Passo 10

Agora, temos os autovalores e autovetores. A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 11

Aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Isolando :
Racionalizando:
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Classifique e resolva os sistemas lineares:
O subconjunto é subespaço de , onde é dado por
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função .
e)
Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
.