Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
com a condição inicial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.
O que vamos precisar: Identificar os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução geral usando esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a determinante:
Simplificando:
Explicando, multiplicamos os termos da diagonal principal e subtraímos o produto dos termos fora da diagonal.
Passo 4
Expandindo a expressão:
Simplificando termo a termo:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Então,
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com
.
Resolvemos
:
Substituindo
:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
Podemos escolher
, então:
Passo 9
De forma semelhante, encontramos o autovetor para
:
Resolvemos
:
Da primeira linha:
Escolhendo
:
Passo 10
Agora, temos os autovalores e autovetores. A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Isolando
:
Racionalizando:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: