Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
x^prime=(ll-3 & 2 -1 & 1) x
x(0)=binom1-2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
x' = -3 & 2 -1 & 1 x
com a condição inicial:
x(0) = 1 -2
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.
O que vamos precisar: Identificar os autovalores da matriz, encontrar os autovetores correspondentes e montar a solução geral usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz -3 & 2 -1 & 1 . Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a determinante:
det( -3 - lambda & 2 -1 & 1 - lambda ) = (-3 - lambda)(1 - lambda) - (2)(-1)
Simplificando:
(-3 - lambda)(1 - lambda) + 2 = 0
Explicando, multiplicamos os termos da diagonal principal e subtraímos o produto dos termos fora da diagonal.

Passo 4

Expandindo a expressão:
(-3)(1) + (-3)(-lambda) + (-lambda)(1) + (-lambda)(-lambda) + 2 = 0
Simplificando termo a termo:
-3 + 3lambda - lambda + lambda^2 + 2 = 0
Juntando os termos semelhantes:
lambda^2 + 2lambda -1 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para lambda^2 + 2lambda -1 = 0 :
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:
De
Então,
lambda = -2 pm raiz82 = -2 pm 2raiz22 = -1 pm raiz2
Portanto, os autovalores são e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com -3 - lambda1 & 2 -1 & 1 - lambda1 v1 v2 = 0 0 .
Resolvemos -3 - (-1 + raiz2) & 2 -1 & 1 - (-1 + raiz2) = -2 - raiz2 & 2 -1 & 2 - raiz2 :
Substituindo :

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
(-2 - raiz2)v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v2 = 2 + raiz22 v1
Podemos escolher v^(1) = 1 2 + raiz22 = 1 1 + raiz22 , então:

Passo 9

De forma semelhante, encontramos o autovetor para -3 - lambda2 & 2 -1 & 1 - lambda2 = -2 + raiz2 & 2 -1 & 2 + raiz2 :
Resolvemos (-2 + raiz2)v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v2 = 2 - raiz22 v1 :
v^(2) = 1 1 - raiz22
Da primeira linha:
Escolhendo :

Passo 10

Agora, temos os autovalores e autovetores. A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = c1 e^lambda1 t v^(1) + c2 e^lambda2 t v^(2)
Substituindo os valores encontrados:
x(t) = c1 e^(-1 + raiz2) t 1 1 + raiz22 + c2 e^(-1 - raiz2) t 1 1 - raiz22

Passo 11

Aplicamos a condição inicial 1 -2 :
x(0) = c1 1 1 + raiz22 + c2 1 1 - raiz22 = 1 -2
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 + c2 = 1 c1 (1 + raiz22) + c2 (1 - raiz22) = -2

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
c2 = 1 - c1
Substituindo na segunda equação:
c1 (1 + raiz22) + (1 - c1) (1 - raiz22) = -2
Expandindo:
c1 + raiz22c1 + 1 - raiz22 - c1 + raiz22c1 = -2
Simplificando:
c1 raiz2 + 1 - raiz22 = -2
Isolando c1 raiz2 = -2 -1 + raiz22 = -3 + raiz22 :
c1 = -3 + raiz22raiz2 = -3raiz2 + 12
c1 = -3raiz22 + 12
Racionalizando:
c2 = 1 - (-3raiz22 + 12) = 1 + 3raiz22 - 12 = 12 + 3raiz22 = 1 + 3raiz22
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
x(t) = (-3raiz22 + 12) e^(-1 + raiz2) t 1 1 + raiz22 + (1 + 3raiz22) e^(-1 - raiz2) t 1 1 - raiz22

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