Seja à base do , dada por , . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base no espaço tridimensional . Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como aplicar o processo de Gram-Schmidt, que basicamente ajusta os vetores para que sejam todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de , e . O objetivo do Gram-Schmidt é transformar esses vetores em uma nova base que seja ortonormal.

Passo 3

Começamos definindo como a normalização de . Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento. O comprimento de é:
Então,

Passo 4

Agora, para encontrar , precisamos tirar de a projeção de em . A projeção é dada por:
Calculando o produto escalar :
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar tirando de as projeções sobre e .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Então,
Agora, a projeção de em :
Então,
Agora, subtraímos as duas projeções de :
Agora, normalizamos :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante é:

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Determine os autovalores e os autovetores de .
Sendo e vetores genéricos do . Definamos , com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que define um produto interno sobre o .
Seja à base do , dada por . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.