Seja à base do R^3, dada por B=(1,-1,-1),(3,1,1),(0,2, 1). Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base no espaço tridimensional . Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como aplicar o processo de Gram-Schmidt, que basicamente ajusta os vetores para que sejam todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de , e . O objetivo do Gram-Schmidt é transformar esses vetores em uma nova base que seja ortonormal.

Passo 3

Começamos definindo |v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 como a normalização de u1 = v1|v1| = ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) . Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento. O comprimento de é:
Então,

Passo 4

Agora, para encontrar proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 , precisamos tirar de v2 cdot u1 = 3 cdot 1raiz3 + 1 cdot -1raiz3 + 1 cdot -1raiz3 = 3 -1 -1raiz3 = 1raiz3 a projeção de proju1 v2 = 1raiz3 cdot u1 = 1raiz3 cdot ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = ( 13, -13, -13 ) em w2 = v2 - proju1 v2 = (3, 1, 1) - ( 13, -13, -13 ) = ( 83, 43, 43 ) . A projeção é dada por:
|w2| = raiz( 83 )^2 + ( 43 )^2 + ( 43 )^2 = raiz 649 + 169 + 169 = raiz 969 = raiz323 = 4raiz63
Calculando o produto escalar u2 = w2|w2| = ( 83 cdot 34raiz6, 43 cdot 34raiz6, 43 cdot 34raiz6 ) = ( 2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) :
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar v3 cdot u1 = 0 cdot 1raiz3 + 2 cdot -1raiz3 + 1 cdot -1raiz3 = 0 -2 -1raiz3 = -3raiz3 = -raiz3 tirando de proju1 v3 = -raiz3 cdot u1 = -raiz3 cdot ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = (-1, 1, 1) as projeções sobre v3 cdot u2 = 0 cdot 2raiz6 + 2 cdot 1raiz6 + 1 cdot 1raiz6 = 0 +2 +1raiz6 = 3raiz6 = raiz62 e proju2 v3 = raiz62 cdot u2 = raiz62 cdot ( 2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) = (1, 12, 12) .
Primeiro, calculamos a projeção de w3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = (0,2,1) - (-1,1,1) - (1, 12, 12) = (0 +1 -1, 2 -1 -12, 1 -1 -12) = (0, 12, -12) em |w3| = raiz0^2 + ( 12 )^2 + ( -12 )^2 = raiz0 + 14 + 14 = raiz12 = raiz22 :
u3 = w3|w3| = ( 0 cdot 2raiz2, 12 cdot 2raiz2, -12 cdot 2raiz2 ) = ( 0, 1raiz2, -1raiz2 )
Então,
Agora, a projeção de em :
Então,
Agora, subtraímos as duas projeções de :
Agora, normalizamos :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante é:
( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ), ( 2raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ), ( 0, 1raiz2, -1raiz2 )

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