Seja à base do
, dada por
,
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma base
no espaço tridimensional
. Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como aplicar o processo de Gram-Schmidt, que basicamente ajusta os vetores para que sejam todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de
,
e
. O objetivo do Gram-Schmidt é transformar esses vetores em uma nova base
que seja ortonormal.
Passo 3
Começamos definindo
como a normalização de
. Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento. O comprimento de
é:
Então,
Passo 4
Agora, para encontrar
, precisamos tirar de
a projeção de
em
. A projeção é dada por:
Calculando o produto escalar
:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
:
Agora, normalizamos
para obter
:
Então,
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar
tirando de
as projeções sobre
e
.
Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Então,
Agora, a projeção de
em
:
Então,
Agora, subtraímos as duas projeções de
:
Agora, normalizamos
:
Então,
Resposta
A base ortonormal resultante é:
Exercícios relacionados
Determine os autovalores e os autovetores de
.
Sendo
e
vetores genéricos do
. Definamos
, com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que
define um produto interno sobre o
.
Seja à base do
, dada por
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.