Determine o valor de m para que a reta que passa por A=(m-1,2) e B=(3,2m) forme com o eixo de abscissas, no sentido negativo, um ângulo de 45. resp.: m=-2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica. A questão nos pede para encontrar o valor de de forma que a reta que passa pelos pontos e forme, com o eixo das abscissas (eixo ), no sentido negativo, um ângulo de .
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de inclinação de retas e ângulos formados com o eixo . Precisaremos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos e e relacionar essa inclinação com o ângulo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação ( mreta = y2 - y1x2 - x1 ) de uma reta que passa por dois pontos mreta = 2m - 23 - (m - 1) = 2(m - 1)4 - m e é dada pela fórmula:
Aplicando isso aos pontos e , temos:

Passo 3

Sabemos que o ângulo tan(theta) = mreta que uma reta forma com o eixo das abscissas está relacionado com a inclinação da reta pela tangente do ângulo:
tan(45^circ) = 1
Como o ângulo dado é mreta = -1 , temos:
No entanto, a reta está formando esse ângulo no sentido negativo do eixo , o que implica que a inclinação da reta será negativa. Portanto:

Passo 4

Agora, igualamos a expressão da inclinação da reta à inclinação determinada pelo ângulo:
2(m - 1)4 - m = -1
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 2(m - 1) = -1 cdot (4 - m) .
Multiplicando ambos os lados por 2m - 2 = -4 + m :
2m - m = -4 + 2
Expandindo ambos os lados:
m = -2
Agora, isolamos :

Resposta

O valor de é .

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