Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir: (a) Do operador linear de dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A parada é encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços para o operador linear dado por em . Basicamente, vamos descobrir quais são os escalar que satisfazem a equação , e para cada encontrar os vetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores. Para isso, vamos montar a matriz do operador T:
O próximo passo é encontrar os valores de que satisfazem a equação característica:
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores A - I = 0 & 0 & 0 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 que satisfazem 0x + 0y + 0z = 0 2x + y + z = 0 0x + y + z = 0 .
Para x = 0, y = -z :
v = z 0 -1 1
Resolvendo o sistema:
0 -1 1
Da terceira equação: A - 3I = -2 & 0 & 0 2 & -1 & 1 0 & 1 & -1 ⇒ -2x + 0y + 0z = 0 2x - y + z = 0 0x + y - z = 0
Substituindo na segunda equação: x = 0, y = z ⇒ v = z 0 1 1 ⇒ 0 1 1
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: ⇒
Da terceira equação: ⇒
Substituindo na segunda equação: , que é válido para qualquer .
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Resposta
Os autovalores do operador 0 -1 1 são 0 1 1 e . As bases dos autoespaços são: