Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(0,5) (a) Do operador linear T de R^3 dado por T(x, y, z)=(x, 2 x+2 y+z, y+2 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A parada é encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços para o operador linear dado por em . Basicamente, vamos descobrir quais são os escalar que satisfazem a equação , e para cada encontrar os vetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores A = 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 . Para isso, vamos montar a matriz do operador T:
det(A - lambda I) = 0
O próximo passo é encontrar os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 2 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda - 0 + 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (1 - lambda) cdot [(2 - lambda)(2 - lambda) - 1 cdot 1]
= (1 - lambda) cdot [(2 - lambda)^2 - 1]

Passo 4

Vamos expandir e resolver a equação:
(1 - lambda) cdot [(2 - lambda)^2 - 1] = 0
Primeiro, resolvemos = (4 - 4lambda + lambda^2) - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 :
(1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) = 0
Então, temos:
(1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3) = 0
Agora, igualamos a zero:

Passo 5

Resolvemos as equações separadamente:
  1. lambda^2 - 4lambda + 3 = 0 (lambda - 1)(lambda - 3) = 0
Para a segunda equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, ou .
Logo, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores A - I = 0 & 0 & 0 2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 que satisfazem 0x + 0y + 0z = 0 2x + y + z = 0 0x + y + z = 0 .
Para x = 0, y = -z :
v = z 0 -1 1
Resolvendo o sistema:
0 -1 1
Da terceira equação: A - 3I = -2 & 0 & 0 2 & -1 & 1 0 & 1 & -1 -2x + 0y + 0z = 0 2x - y + z = 0 0x + y - z = 0
Substituindo na segunda equação: x = 0, y = z v = z 0 1 1 0 1 1
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação: , que é válido para qualquer .
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .

Resposta

Os autovalores do operador 0 -1 1 são 0 1 1 e . As bases dos autoespaços são:
  • Para :
  • Para :

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