Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir: (a) Do operador linear de dado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A parada é encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços para o operador linear dado por em . Basicamente, vamos descobrir quais são os escalar que satisfazem a equação , e para cada encontrar os vetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores. Para isso, vamos montar a matriz do operador T:
O próximo passo é encontrar os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Vamos expandir e resolver a equação:
Primeiro, resolvemos :
Então, temos:
Agora, igualamos a zero:
Passo 5
Resolvemos as equações separadamente:
⇒
Para a segunda equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, ou .
Logo, os autovalores são e .
Passo 6
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores que satisfazem .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: ⇒
Substituindo na segunda equação: ⇒ ⇒
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: ⇒
Da terceira equação: ⇒
Substituindo na segunda equação: , que é válido para qualquer .
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Resposta
Os autovalores do operador são e . As bases dos autoespaços são: