Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(a) Do operador linear de dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A parada é encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços para o operador linear dado por em . Basicamente, vamos descobrir quais são os escalar que satisfazem a equação , e para cada encontrar os vetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores . Para isso, vamos montar a matriz do operador T:
O próximo passo é encontrar os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Vamos expandir e resolver a equação:
Primeiro, resolvemos :
Então, temos:
Agora, igualamos a zero:

Passo 5

Resolvemos as equações separadamente:
Para a segunda equação quadrática:
Podemos fatorar:
Então, ou .
Logo, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar o autoespaço, ou seja, o conjunto de vetores que satisfazem .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação: , que é válido para qualquer .
Então, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Portanto, uma base para o autoespaço correspondente a é .

Resposta

Os autovalores do operador são e . As bases dos autoespaços são:
  • Para :
  • Para :

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