Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação
e precisa encontrar a equação canônica dessa cônica. Vamos usar rotação e translação de eixos para simplificar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como mudar os eixos para eliminar o termo misto
, o que nos ajudará a identificar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes:
Aqui, os coeficientes são:
(para
),
(para
) e
(para
).
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o termo
usando uma rotação de eixos. Sabemos que, ao rotacionar os eixos em um ângulo
, a equação muda e podemos escolher
de forma que o coeficiente do termo
seja zero. A fórmula para encontrar
é:
Substituindo os valores:
Isso significa que
, então
. Nesse caso, a rotação não é necessária porque já temos
após simplificar.
Passo 4
Como não precisamos rotacionar os eixos, vamos nos concentrar na translação para simplificar a equação. Vamos assumir que a cônica está deslocada de forma que podemos substituir
por
e
por
, onde
é o ponto de translação.
Passo 5
Substituindo na equação original:
Expandindo:
Passo 6
Para simplificar, vamos escolher
e
de forma que os termos lineares desapareçam. Isso significa resolver:
Para que isso seja zero para todo
e
, temos:
Passo 7
Agora, substituindo
e
na equação expandida:
Simplificando:
Passo 8
A equação
representa duas retas:
e
. Isso significa que, após a translação, a cônica se reduz a duas retas perpendiculares aos eixos transladados.
Resposta
A equação canônica é
, que representa duas retas perpendiculares. Portanto, a cônica identificada é um par de retas.
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Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial abaixo:
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(a) Do operador linear
de
dado por
.
Resolva o seguinte sistema por eliminação Gaussiana. (
)