Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. x y+2 x-y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação xy + 2x - y = 0 e precisa encontrar a equação canônica dessa cônica. Vamos usar rotação e translação de eixos para simplificar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como mudar os eixos para eliminar o termo misto xy, o que nos ajudará a identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes:
xy + 2x - y = 0
Aqui, os coeficientes são: A=1 (para xy), B=2 (para x) e C=-1 (para y).

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o termo xy usando uma rotação de eixos. Sabemos que, ao rotacionar os eixos em um ângulo theta, a equação muda e podemos escolher theta de forma que o coeficiente do termo xy seja zero. A fórmula para encontrar theta é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores:
tan(2theta) = 01 - (-1) = 0
Isso significa que 2theta = 0, então theta = 0^circ. Nesse caso, a rotação não é necessária porque já temos B = 0 após simplificar.

Passo 4

Como não precisamos rotacionar os eixos, vamos nos concentrar na translação para simplificar a equação. Vamos assumir que a cônica está deslocada de forma que podemos substituir x por x' + h e y por y' + k, onde (h, k) é o ponto de translação.

Passo 5

Substituindo na equação original:
(x' + h)(y' + k) + 2(x' + h) - (y' + k) = 0
Expandindo:
x'y' + x'k + h y' + hk + 2x' + 2h - y' - k = 0

Passo 6

Para simplificar, vamos escolher h e k de forma que os termos lineares desapareçam. Isso significa resolver:
x'k + h y' + 2x' - y' = 0
Para que isso seja zero para todo x' e y', temos:
k + 2 = 0 Rightarrow k = -2
h - 1 = 0 Rightarrow h = 1

Passo 7

Agora, substituindo h = 1 e k = -2 na equação expandida:
x'y' + x'(-2) + 1 cdot y' + 1 cdot (-2) + 2x' + 2(1) - y' - (-2) = 0
Simplificando:
x'y' - 2x' + y' - 2 + 2x' + 2 - y' + 2 = 0
x'y' + 0 = 0 Rightarrow x'y' = 0

Passo 8

A equação x'y' = 0 representa duas retas: x' = 0 e y' = 0. Isso significa que, após a translação, a cônica se reduz a duas retas perpendiculares aos eixos transladados.

Resposta

A equação canônica é x'y' = 0, que representa duas retas perpendiculares. Portanto, a cônica identificada é um par de retas.

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