Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação e precisa encontrar a equação canônica dessa cônica. Vamos usar rotação e translação de eixos para simplificar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como mudar os eixos para eliminar o termo misto , o que nos ajudará a identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes:
Aqui, os coeficientes são: (para ), (para ) e (para ).

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o termo usando uma rotação de eixos. Sabemos que, ao rotacionar os eixos em um ângulo , a equação muda e podemos escolher de forma que o coeficiente do termo seja zero. A fórmula para encontrar é:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então . Nesse caso, a rotação não é necessária porque já temos após simplificar.

Passo 4

Como não precisamos rotacionar os eixos, vamos nos concentrar na translação para simplificar a equação. Vamos assumir que a cônica está deslocada de forma que podemos substituir por e por , onde é o ponto de translação.

Passo 5

Substituindo na equação original:
Expandindo:

Passo 6

Para simplificar, vamos escolher e de forma que os termos lineares desapareçam. Isso significa resolver:
Para que isso seja zero para todo e , temos:

Passo 7

Agora, substituindo e na equação expandida:
Simplificando:

Passo 8

A equação representa duas retas: e . Isso significa que, após a translação, a cônica se reduz a duas retas perpendiculares aos eixos transladados.

Resposta

A equação canônica é , que representa duas retas perpendiculares. Portanto, a cônica identificada é um par de retas.

Exercícios relacionados

Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial abaixo:
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(a) Do operador linear de dado por .
Resolva o seguinte sistema por eliminação Gaussiana. ( )