a matriz canónica de uma transformação linear T: R^2 R^3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão da transformação linear [T]=[cc 1 & -2 2 & 0 -1 & 3 ] sabendo que a matriz canônica de é:
Então, vamos usar conceitos de álgebra linear para relacionar essa matriz com a expressão da transformação.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de . No nosso caso, temos uma matriz , pois vai de 2 dimensões para 3 dimensões.
Passo 3
Vamos identificar as imagens dos vetores da base canônica de 1 0. A base canônica de 0 1 é formada pelos vetores e .
Passo 4
A primeira coluna da matriz T(e1) = 1 2 -1 e T(e2) = -2 0 3 é a imagem de e a segunda coluna é a imagem de . Então temos:
Passo 5
Agora, para encontrar a expressão geral de T(x, y) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) , usamos a propriedade da linearidade:
Passo 6
Substituindo as imagens que encontramos:
T(x, y) = x cdot 1 2 -1 + y cdot -2 0 3
Passo 7
Fazendo as multiplicações:
T(x, y) = x 2x -x + -2y 0 3y
Passo 8
Agora, somamos os vetores:
T(x, y) = x - 2y 2x + 0 -x + 3y = x - 2y 2x -x + 3y
Resposta
A expressão da transformação linear T(x, y) = x - 2y 2x -x + 3y é: