Encontre a expressão de T.
[T]=[cc 1 & -2 2 & 0 -1 & 3 ]
a matriz canónica de uma transformação linear T: R^2 R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão da transformação linear [T]=[cc 1 & -2 2 & 0 -1 & 3 ] sabendo que a matriz canônica de é:
Então, vamos usar conceitos de álgebra linear para relacionar essa matriz com a expressão da transformação.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de . No nosso caso, temos uma matriz , pois vai de 2 dimensões para 3 dimensões.

Passo 3

Vamos identificar as imagens dos vetores da base canônica de 1 0. A base canônica de 0 1 é formada pelos vetores e .

Passo 4

A primeira coluna da matriz T(e1) = 1 2 -1 e T(e2) = -2 0 3 é a imagem de e a segunda coluna é a imagem de . Então temos:

Passo 5

Agora, para encontrar a expressão geral de T(x, y) = x cdot T(e1) + y cdot T(e2) , usamos a propriedade da linearidade:

Passo 6

Substituindo as imagens que encontramos:
T(x, y) = x cdot 1 2 -1 + y cdot -2 0 3

Passo 7

Fazendo as multiplicações:
T(x, y) = x 2x -x + -2y 0 3y

Passo 8

Agora, somamos os vetores:
T(x, y) = x - 2y 2x + 0 -x + 3y = x - 2y 2x -x + 3y

Resposta

A expressão da transformação linear T(x, y) = x - 2y 2x -x + 3y é:

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