Mostrar que as matrizes , formam uma base de Além disso, faça a matriz de mudança de base da base acima para a base canônica de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes dadas formam uma base do espaço das matrizes e, além disso, encontrar a matriz de mudança de base dessa base para a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores é uma base se eles são linearmente independentes e se “cobrem” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.
  2. Mudança de Base: É o processo de transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as quatro matrizes fornecidas são linearmente independentes e se elas formam uma base para o espaço das matrizes .
As matrizes dadas são:
Sabemos que o espaço das matrizes tem dimensão 4, ent��o precisamos de 4 matrizes linearmente independentes para formar uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear. Isso significa que se , então todos os coeficientes devem ser zero.
Escrevendo isso:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da equação (4):
  • Da equação (3):
  • Substituindo na equação (2):
  • Da equação (1):
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então, .
Portanto, a única solução é , o que prova que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos 4 matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base para o espaço das matrizes . Então, a primeira parte do exercício está resolvida!
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a matriz de mudança de base da base para a base canônica de .

Passo 6

A base canônica para o espaço das matrizes é composta pelas seguintes matrizes:
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .

Passo 7

Vamos expressar cada em termos de :

Passo 8

Agora, construímos a matriz de mudança de base colocando os coeficientes dessas combinações nas colunas:
Essa é a matriz que converte coordenadas na base para coordenadas na base canônica .

Resposta

As matrizes fornecidas formam uma base para o espaço das matrizes . A matriz de mudança de base da base dada para a base canônica de é:

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