Mostrar que as matrizes , formam uma base de Além disso, faça a matriz de mudança de base da base acima para a base canônica de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes dadas formam uma base do espaço das matrizes e, além disso, encontrar a matriz de mudança de base dessa base para a base canônica de .
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
Base de um Espaço Vetorial: Um conjunto de vetores é uma base se eles são linearmente independentes e se “cobrem” todo o espaço, ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Mudança de Base: É o processo de transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as quatro matrizes fornecidas são linearmente independentes e se elas formam uma base para o espaço das matrizes .
As matrizes dadas são:
Sabemos que o espaço das matrizes tem dimensão 4, ent��o precisamos de 4 matrizes linearmente independentes para formar uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear. Isso significa que se , então todos os coeficientes devem ser zero.
Escrevendo isso:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da equação (4):
Da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Da equação (1):
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então, .
Portanto, a única solução é , o que prova que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos 4 matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base para o espaço das matrizes . Então, a primeira parte do exercício está resolvida!
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a matriz de mudança de base da base para a base canônica de .
Passo 6
A base canônica para o espaço das matrizes é composta pelas seguintes matrizes:
Para encontrar a matriz de mudança de base de para , precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Passo 7
Vamos expressar cada em termos de :
Passo 8
Agora, construímos a matriz de mudança de base colocando os coeficientes dessas combinações nas colunas:
Essa é a matriz que converte coordenadas na base para coordenadas na base canônica .
Resposta
As matrizes fornecidas formam uma base para o espaço das matrizes . A matriz de mudança de base da base dada para a base canônica de é: