Determine o valor de k para que se tenha A B=B A, onde A, B in M2 times 2 são definidas por A=[rr3 & -4 -5 & 6] e B=[ll7 & 4 5 & k].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de tal que , onde e são matrizes . Isso envolve operações com matrizes e a propriedade de comutatividade. Precisaremos multiplicar as matrizes e em ambas as ordens e igualar os resultados para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar A = 3 & -4 -5 & 6 , B = 7 & 4 5 & k por AB = 3 cdot 7 + (-4) cdot 5 & 3 cdot 4 + (-4) cdot k -5 cdot 7 + 6 cdot 5 & -5 cdot 4 + 6 cdot k = 21 - 20 & 12 - 4k -35 + 30 & -20 + 6k = 1 & 12 - 4k -5 & -20 + 6k . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então,
Multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar BA = 7 cdot 3 + 4 cdot (-5) & 7 cdot (-4) + 4 cdot 6 5 cdot 3 + k cdot (-5) & 5 cdot (-4) + k cdot 6 = 21 - 20 & -28 + 24 15 - 5k & -20 + 6k = 1 & -4 15 - 5k & -20 + 6k por :

Passo 4

Para que 1 = 1 12 - 4k = -4 -5 = 15 - 5k -20 + 6k = -20 + 6k , as matrizes resultantes devem ser iguais em todas as posições. Então, vamos igualar os elementos correspondentes:
Notamos que as equações e são sempre verdadeiras, então vamos focar nas outras duas:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
12 - 4k = -4 -4k = -4 - 12 -4k = -16 k = -16-4 k = 4
Agora, vamos verificar com a segunda equação para confirmar:
-5 = 15 - 5k -5 - 15 = -5k -20 = -5k k = -20-5 k = 4

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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