Obtenha o limite da sequência {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...}. Leia a sugestão do item 10).
A sequência cos(n) / n^2 converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois exercícios aqui!
Primeiro, temos uma sequência com raízes quadradas aninhadas: {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...}. O objetivo é encontrar o limite dessa sequência.
Segundo, temos outra sequência: . Queremos saber se ela converge e, se sim, qual é o limite.
Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência: {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...}.
Observamos que cada termo é definido de forma recursiva, ou seja, cada raiz quadrada envolve o termo anterior. Para encontrar o limite dessa sequência, vamos supor que ela converge para um valor L.

Passo 3

Se a sequência converge para L, então o próximo termo também tende para L. Assim, podemos escrever a relação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L.

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Isso simplifica para:
Fatorando a equação:

Passo 5

As soluções da equação são ou . Agora, precisamos decidir qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência.
Como todos os termos da sequência são positivos e começando por , a única solução válida é .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda sequência: .
Queremos determinar se essa sequência converge e encontrar seu limite.
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo valor de n. Por outro lado, n^2 cresce sem limites à medida que n aumenta.

Passo 7

Vamos analisar o limite:
Como , podemos usar o fato de que se está limitado e tende ao infinito, então .

Passo 8

Aplicando isso ao nosso caso:
Como , pelo Teorema do Sanduíche, também temos:

Resposta

  1. O limite da sequência {raiz(2), raiz(2 * raiz(2)), raiz(2 * raiz(2 * raiz(2))), ...} é .
  2. A sequência converge e o seu limite é 0.

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