Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
A sequência
converge? Em caso afirmativo, qual é o seu limite.
A sequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois exercícios aqui!
Primeiro, temos uma sequência com raízes quadradas aninhadas:
. O objetivo é encontrar o limite dessa sequência.
Segundo, temos outra sequência:
. Queremos saber se ela converge e, se sim, qual é o limite.
Para resolver esses problemas, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência:
.
Observamos que cada termo é definido de forma recursiva, ou seja, cada raiz quadrada envolve o termo anterior. Para encontrar o limite dessa sequência, vamos supor que ela converge para um valor
.
Passo 3
Se a sequência converge para
, então o próximo termo também tende para
. Assim, podemos escrever a relação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Isso simplifica para:
Fatorando a equação:
Passo 5
As soluções da equação são
ou
. Agora, precisamos decidir qual dessas soluções faz sentido no contexto da nossa sequência.
Como todos os termos da sequência são positivos e começando por
, a única solução válida é
.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda sequência:
.
Queremos determinar se essa sequência converge e encontrar seu limite.
Sabemos que
oscila entre
e
para todo valor de
. Por outro lado,
cresce sem limites à medida que
aumenta.
Passo 7
Vamos analisar o limite:
Como
, podemos usar o fato de que se
está limitado e
tende ao infinito, então
.
Passo 8
Aplicando isso ao nosso caso:
Como
, pelo Teorema do Sanduíche, também temos:
Resposta
-
O limite da sequência
é . -
A sequência
converge e o seu limite é .
Exercícios relacionados
Determine
de modo que
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes; quando ela for convergente, encontre a soma da série.
Encontre o centroide da região no
quadrante limitada pelo eixo
, pela parábola
e pela reta
Resp:
e
Seja
a região limitada pelos paraboloides
e
. Calcule o volume de
, usando a ordem de integração
. Resp: