Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções definidas por partes e precisamos encontrar os valores de
e
para que cada função seja diferenciável no ponto onde as definições mudam. Para isso, vamos precisar garantir que:
- Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto de junção.
- Diferenciabilidade: As derivadas das partes da função devem ser iguais no ponto de junção.
Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (a):
Temos a função:
Para que
seja diferenciável em
, precisamos garantir que:
- Continuidade em
: O limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em 1. - Derivadas iguais em
: A derivada da parte de deve ser igual à derivada da parte de em .
Passo 3
1. Garantir a continuidade em
:
Vamos calcular
usando a definição para
:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Para a continuidade, temos:
Essa é a primeira equação.
Passo 4
2. Garantir a diferenciabilidade em
:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das duas partes da função.
- Para
:
- Para
:
Agora, calculamos a derivada em
para cada parte:
- Derivada pela esquerda (
):
- Derivada pela direita (
):
Para a diferenciabilidade, as derivadas devem ser iguais:
Essa é a segunda equação.
Passo 5
3. Encontrar os valores de
e
:
Já temos
. Agora, substituímos esse valor na primeira equação:
Passo 6
Parte (b):
Agora, vamos resolver a segunda função:
Novamente, precisamos garantir continuidade e diferenciabilidade em
.
Passo 7
1. Garantir a continuidade em
:
Calculamos
usando a definição para
:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Para a continuidade:
Essa é a primeira equação.
Passo 8
2. Garantir a diferenciabilidade em
:
Primeiro, encontramos as derivadas das duas partes.
- Para
:
A derivada em
:
- Para
:
Para a diferenciabilidade:
Essa é a segunda equação.
Passo 9
3. Encontrar os valores de
e
:
Já temos
. Substituímos na primeira equação:
Resposta
Parte (a):
Parte (b):
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
i)
Use derivação implícita para determinar
b)
b)