Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções definidas por partes e precisamos encontrar os valores de e para que cada função seja diferenciável no ponto onde as definições mudam. Para isso, vamos precisar garantir que:
  1. Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto de junção.
  2. Diferenciabilidade: As derivadas das partes da função devem ser iguais no ponto de junção.
Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a):
Temos a função:
Para que seja diferenciável em , precisamos garantir que:
  1. Continuidade em : O limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em 1.
  2. Derivadas iguais em : A derivada da parte de deve ser igual à derivada da parte de em .

Passo 3

1. Garantir a continuidade em :
Vamos calcular usando a definição para :
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Para a continuidade, temos:
Essa é a primeira equação.

Passo 4

2. Garantir a diferenciabilidade em :
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das duas partes da função.
  • Para :
  • Para :
Agora, calculamos a derivada em para cada parte:
  • Derivada pela esquerda ( ):
  • Derivada pela direita ( ):
Para a diferenciabilidade, as derivadas devem ser iguais:
Essa é a segunda equação.

Passo 5

3. Encontrar os valores de e :
Já temos . Agora, substituímos esse valor na primeira equação:

Passo 6

Parte (b):
Agora, vamos resolver a segunda função:
Novamente, precisamos garantir continuidade e diferenciabilidade em .

Passo 7

1. Garantir a continuidade em :
Calculamos usando a definição para :
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Para a continuidade:
Essa é a primeira equação.

Passo 8

2. Garantir a diferenciabilidade em :
Primeiro, encontramos as derivadas das duas partes.
  • Para :
A derivada em :
  • Para :
Para a diferenciabilidade:
Essa é a segunda equação.

Passo 9

3. Encontrar os valores de e :
Já temos . Substituímos na primeira equação:

Resposta

Parte (a):
Parte (b):

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Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
Use derivação implícita para determinar
b)