Use derivação implícita para determinar
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica da matemática que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao expoente para eliminar o expoente :

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e . Usamos a derivada parcial:
Isso resulta em:
Aqui, derivamos em relação a para obter , não depende de então a derivada é 0, e se diferencia usando a regra da cadeia, dando .

Passo 4

Vamos agora isolar :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 5

De maneira similar, vamos diferenciar a equação original em relação a :
Isso dá:
Aqui, não depende de então a derivada é 0, deriva para , e deriva para .

Passo 6

Isolando :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
(b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
c)
Determine o valor da constante para quec se tenha