Use derivação implícita para determinar
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica da matemática que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao expoente
para eliminar o expoente
:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
. Usamos a derivada parcial:
Isso resulta em:
Aqui, derivamos
em relação a
para obter
,
não depende de
então a derivada é 0, e
se diferencia usando a regra da cadeia, dando
.
Passo 4
Vamos agora isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
De maneira similar, vamos diferenciar a equação original em relação a
:
Isso dá:
Aqui,
não depende de
então a derivada é 0,
deriva para
, e
deriva para
.
Passo 6
Isolando
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
i)
Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(b)
(a)
(b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
c)
c)
Determine o valor da constante
para quec se tenha