Use derivação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y
b) (x^2+y^2+z^2)^32=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica da matemática que nos ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
(x^2+y^2+z^2)^32 = 1
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao expoente x^2+y^2+z^2 = 1^23 = 1 para eliminar o expoente :

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a partialpartial x(x^2+y^2+z^2) = partialpartial x(1) , lembrando que 2x + 0 + 2z cdot partial zpartial x = 0 é uma função de e . Usamos a derivada parcial:
Isso resulta em:
Aqui, derivamos em relação a para obter , não depende de então a derivada é 0, e se diferencia usando a regra da cadeia, dando .

Passo 4

Vamos agora isolar 2x + 2z cdot partial zpartial x = 0 :
2z cdot partial zpartial x = -2x
Subtraindo partial zpartial x = -xz de ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 5

De maneira similar, vamos diferenciar a equação original em relação a partialpartial y(x^2+y^2+z^2) = partialpartial y(1) :
0 + 2y + 2z cdot partial zpartial y = 0
Isso dá:
Aqui, não depende de então a derivada é 0, deriva para , e deriva para .

Passo 6

Isolando 2y + 2z cdot partial zpartial y = 0 :
2z cdot partial zpartial y = -2y
Subtraindo partial zpartial y = -yz de ambos os lados:
Dividindo por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -xz e partial zpartial y = -yz

Exercícios relacionados