Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente estudar se a função é contínua e diferenciável no ponto . Além disso, temos que desenhar o gráfico dessa função. A função é definida por duas expressões diferentes:
Pra resolver, vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções, além de saber como analisar limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função no ponto .
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
  1. Valor da função em :
Como , usamos a primeira parte da função:
  1. Limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Usamos a primeira expressão da função:
  1. Limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
Usamos a segunda expressão da função:
Como todos são iguais a 7, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no ponto .
Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas pelas esquerda e pela direita forem iguais.
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função:
  1. Derivada para :
  1. Derivada para :
Agora, vamos ver os limites das derivadas quando se aproxima de 3:
  • Derivada pela esquerda ( ):
  • Derivada pela direita ( ):
Como , as derivadas pelas duas direções são diferentes. Portanto, a função não é diferenciável em .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Para , a função é uma reta com inclinação 2 e intercepto 1. Passa por pontos como e .
  2. Para , a função é uma reta com inclinação -1 e intercepto 10. Passa por pontos como e .
No ponto , as duas retas se encontram no ponto , formando um gráfico contínuo, mas com uma “quebra” na derivada, já que as inclinações são diferentes.

Resposta

A função é contínua no ponto , mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de é contínuo em com duas retas que se encontram nesse ponto, mas com diferentes inclinações à esquerda e à direita de .

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio da função
g)
Nos exercícios a seguir, determine utilizando a definição de derivada:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
(b)