Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente estudar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. Além disso, temos que desenhar o gráfico dessa função. A função
é definida por duas expressões diferentes:
Pra resolver, vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade de funções, além de saber como analisar limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função no ponto
.
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita são iguais ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
- Valor da função em
:
Como
, usamos a primeira parte da função:
- Limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Usamos a primeira expressão da função:
- Limite quando
se aproxima de 3 pela direita ( ):
Usamos a segunda expressão da função:
Como todos são iguais a 7, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade da função no ponto
.
Uma função é diferenciável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas pelas esquerda e pela direita forem iguais.
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função:
- Derivada para
:
- Derivada para
:
Agora, vamos ver os limites das derivadas quando
se aproxima de 3:
- Derivada pela esquerda (
):
- Derivada pela direita (
):
Como
, as derivadas pelas duas direções são diferentes. Portanto, a função não é diferenciável em
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função
.
-
Para
, a função é uma reta com inclinação 2 e intercepto 1. Passa por pontos como e . -
Para
, a função é uma reta com inclinação -1 e intercepto 10. Passa por pontos como e .
No ponto
, as duas retas se encontram no ponto
, formando um gráfico contínuo, mas com uma “quebra” na derivada, já que as inclinações são diferentes.
Resposta
A função
é contínua no ponto
, mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de
é contínuo em
com duas retas que se encontram nesse ponto, mas com diferentes inclinações à esquerda e à direita de
.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio da função
g)
g)
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(b)
(a)
(b)