Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda a regra de cálculo dependendo de
ser menor ou igual a 2 ou maior que 2. O ponto que vamos analisar é
. O que precisamos fazer é ver se a função é contínua e diferenciável nesse ponto, e também desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda for igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em 2, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular esses limites:
- Para
, . Então:
- Para
, . Então:
- O valor da função em
é:
Como todos são iguais a 4, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. A função é diferenciável nesse ponto se as derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. As derivadas são:
- Para
, , então a derivada é:
A derivada quando
se aproxima de 2 pela esquerda é:
- Para
, , então a derivada é:
A derivada quando
se aproxima de 2 pela direita é:
Como
, as derivadas não são iguais. Então, a função não é diferenciável em
.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
- Para
, a função é uma parábola . - Para
, a função é uma reta decrescente .
No ponto, ambas as partes da função se encontram em , formando um ponto de continuidade, mas com um “canto”, já que a inclinação muda abruptamente.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de
apresenta uma parábola para
e uma reta decrescente para
, conectando-se suavemente no ponto
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Determine e esboce o domínio da função
g)
g)
Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(b)
(a)
(b)
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .
i)