Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função f no ponto x1 dado. Esboce o gráfico de f.
f(x) = { x^2, se x <= 2; 6 - x, se x > 2 }, x1 = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) que muda a regra de cálculo dependendo de x ser menor ou igual a 2 ou maior que 2. O ponto que vamos analisar é . O que precisamos fazer é ver se a função é contínua e diferenciável nesse ponto, e também desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em x = 2. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda for igual ao limite quando x se aproxima de 2 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em 2, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular esses limites:
  • Para x <= 2, f(x) = x^2. Então:
  • Para x > 2, . Então:
  • O valor da função em x = 2 é:
Como todos são iguais a 4, a função é contínua em x = 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em x = 2. A função é diferenciável nesse ponto se as derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. As derivadas são:
  • Para x <= 2, f(x) = x^2, então a derivada é:
A derivada quando x se aproxima de 2 pela esquerda é:
  • Para x > 2, , então a derivada é:
A derivada quando x se aproxima de 2 pela direita é:
Como , as derivadas não são iguais. Então, a função não é diferenciável em x = 2.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Para x <= 2, a função é uma parábola .
  • Para x > 2, a função é uma reta decrescente .
    No ponto x = 2, ambas as partes da função se encontram em , formando um ponto de continuidade, mas com um “canto”, já que a inclinação muda abruptamente.

Resposta

A função f(x) é contínua em x = 2, mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de f(x) apresenta uma parábola para x <= 2 e uma reta decrescente para x > 2, conectando-se suavemente no ponto .

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