Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda a regra de cálculo dependendo de ser menor ou igual a 2 ou maior que 2. O ponto que vamos analisar é . O que precisamos fazer é ver se a função é contínua e diferenciável nesse ponto, e também desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda for igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em 2, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular esses limites:
  • Para , . Então:
  • Para , . Então:
  • O valor da função em é:
Como todos são iguais a 4, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . A função é diferenciável nesse ponto se as derivadas pela esquerda e pela direita forem iguais. As derivadas são:
  • Para , , então a derivada é:
A derivada quando se aproxima de 2 pela esquerda é:
  • Para , , então a derivada é:
A derivada quando se aproxima de 2 pela direita é:
Como , as derivadas não são iguais. Então, a função não é diferenciável em .

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Para , a função é uma parábola .
  • Para , a função é uma reta decrescente .
    No ponto , ambas as partes da função se encontram em , formando um ponto de continuidade, mas com um “canto”, já que a inclinação muda abruptamente.

Resposta

A função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de apresenta uma parábola para e uma reta decrescente para , conectando-se suavemente no ponto .

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Determine e esboce o domínio da função
g)
Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
(b)
Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .