Estude a convergência de cada integral imprópria.
i)
.
i)
Passo 1
Resumo da questão e conceitos necessários:
A questão pede para estudarmos a convergência da integral imprópria:
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais definidas onde o intervalo de integração é infinito ou a função integranda tem alguma descontinuidade no intervalo. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se a integral converge ou diverge comparando-a com uma integral cuja convergência já conhecemos.
Estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais definidas onde o intervalo de integração é infinito ou a função integranda tem alguma descontinuidade no intervalo. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se a integral converge ou diverge comparando-a com uma integral cuja convergência já conhecemos.
O que precisamos:
- Entender o comportamento da função no infinito.
- Escolher uma função comparativa adequada para aplicar o Teste da Comparação.
Passo 2
Análise do comportamento da função no infinito:
Primeiro, vamos analisar o comportamento do denominador
quando
tende ao infinito.
Sabemos que
cresce muito mais rapidamente do que
. Portanto, para valores grandes de
,
domina
, ou seja:
Então, a função integranda pode ser aproximada por:
Passo 3
Escolha da função comparativa:
Vamos comparar nossa integral com a integral de
, que é uma função mais simples:
Sabemos que a integral de
é uma integral exponencial que converge, pois
cresce rapidamente, fazendo a área sob a curva ser finita.
Passo 4
Aplicação do Teste da Comparação:
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar que:
-
para todo . - A integral da função comparativa
converge.
De fato, como
, temos:
E sabemos que:
Portanto, a integral comparativa converge.
Passo 5
Conclusão sobre a convergência da integral original:
Pelo Teste da Comparação, já que nossa função integranda é menor ou igual a uma função cuja integral converge, concluímos que a integral original também converge.
Resposta
A integral imprópria
converge.
Exercícios relacionados
Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(b)
(a)
(b)
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Use derivação implícita para determinar
b)
b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
c)
c)