Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) .

Passo 1

Resumo da questão e conceitos necessários:
A questão pede para estudarmos a convergência da integral imprópria:
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais definidas onde o intervalo de integração é infinito ou a função integranda tem alguma descontinuidade no intervalo. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se a integral converge ou diverge comparando-a com uma integral cuja convergência já conhecemos.
O que precisamos:
  • Entender o comportamento da função no infinito.
  • Escolher uma função comparativa adequada para aplicar o Teste da Comparação.

Passo 2

Análise do comportamento da função no infinito:
Primeiro, vamos analisar o comportamento do denominador quando tende ao infinito.
Sabemos que cresce muito mais rapidamente do que . Portanto, para valores grandes de , domina , ou seja:
Então, a função integranda pode ser aproximada por:

Passo 3

Escolha da função comparativa:
Vamos comparar nossa integral com a integral de , que é uma função mais simples:
Sabemos que a integral de é uma integral exponencial que converge, pois cresce rapidamente, fazendo a área sob a curva ser finita.

Passo 4

Aplicação do Teste da Comparação:
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar que:
  1. para todo .
  2. A integral da função comparativa converge.
De fato, como , temos:
E sabemos que:
Portanto, a integral comparativa converge.

Passo 5

Conclusão sobre a convergência da integral original:
Pelo Teste da Comparação, já que nossa função integranda é menor ou igual a uma função cuja integral converge, concluímos que a integral original também converge.

Resposta

A integral imprópria converge.

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Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
(b)
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Use derivação implícita para determinar
b)
Determine as derivadas parciais indicadas.
c)