Estude a convergência de cada integral imprópria.
i) integral1^infty d xraizx+e^3 x.

Passo 1

Resumo da questão e conceitos necessários:
A questão pede para estudarmos a convergência da integral imprópria:
integral1^infty dxraizx + e^3x
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com integrais impróprias, que são integrais definidas onde o intervalo de integração é infinito ou a função integranda tem alguma descontinuidade no intervalo. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se a integral converge ou diverge comparando-a com uma integral cuja convergência já conhecemos.
O que precisamos:
  • Entender o comportamento da função no infinito.
  • Escolher uma função comparativa adequada para aplicar o Teste da Comparação.

Passo 2

Análise do comportamento da função no infinito:
Primeiro, vamos analisar o comportamento do denominador raizx + e^3x quando x tende ao infinito.
Sabemos que e^3x cresce muito mais rapidamente do que raizx. Portanto, para valores grandes de x, e^3x domina raizx, ou seja:
raizx + e^3x approx e^3x quando x to infty
Então, a função integranda pode ser aproximada por:
1raizx + e^3x approx 1e^3x

Passo 3

Escolha da função comparativa:
Vamos comparar nossa integral com a integral de 1e^3x, que é uma função mais simples:
integral1^infty dxe^3x
Sabemos que a integral de 1e^3x é uma integral exponencial que converge, pois e^3x cresce rapidamente, fazendo a área sob a curva ser finita.

Passo 4

Aplicação do Teste da Comparação:
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar que:
  1. 0 <= 1raizx + e^3x <= 1e^3x para todo x >= 1.
  2. A integral da função comparativa 1e^3x converge.
De fato, como raizx >= 0, temos:
raizx + e^3x >= e^3x implies 1raizx + e^3x <= 1e^3x
E sabemos que:
integral1^infty dxe^3x = [ -13 e^-3x ]1^infty = 13 e^-3 < infty
Portanto, a integral comparativa converge.

Passo 5

Conclusão sobre a convergência da integral original:
Pelo Teste da Comparação, já que nossa função integranda é menor ou igual a uma função cuja integral converge, concluímos que a integral original também converge.

Resposta

A integral imprópria integral1^infty dxraizx + e^3x converge.

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