Seja
a transformação linear definida por
. Em cada caso, decida se o vetor está em
.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se determinados vetores estão na imagem da transformação linear
definida por
. Aqui, trabalharemos com polinômios de grau até 2 e 3, e vamos precisar entender como a transformação
age sobre esses polinômios.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a imagem de
,
. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso,
consiste em todos os polinômios em
que podem ser escritos como
, onde
é um polinômio de grau até 2.
Passo 3
Para verificar se um vetor específico está em
, precisamos ver se existe um polinômio
em
tal que
seja igual ao vetor dado. Isso significa resolver a equação
(vetor dado) para encontrar os coeficientes
.
Passo 4
Vamos aplicar esse método a cada um dos vetores fornecidos:
(a)
Comparamos com
:
Igualando os coeficientes:
Existe uma solução, então
está em
.
(b)
Comparamos com
:
Igualando os coeficientes:
Mas isso levaria a
, o que não é possível. Portanto,
não está em
.
©
Comparamos com
:
Igualando os coeficientes:
Existe uma solução, então
está em
.
Resposta
(a)
está em
.
(b)
não está em
.
©
está em
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos do plano
cuja distância ao ponto
é 2 e ao ponto
é 3.
Determine um vetor que tenha módulo igual a
, que esteja no segundo octante e que seja simultaneamente ortogonal aos vetores
e
.
Determine
e
de modo que sejam colineares os pontos
e
.
Encontre o vetor
de forma que
seja paralelo ao vetor
, sendo
e
e
forme um ângulo agudo com o eixo das abscissas.