Seja T: P2 P3 a transformação linear definida por T(p(x))=x p(x). Em cada caso, decida se o vetor está em Im(T).
(a) x+x^2
(b) 1+x
© 3-x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se determinados vetores estão na imagem da transformação linear definida por . Aqui, trabalharemos com polinômios de grau até 2 e 3, e vamos precisar entender como a transformação age sobre esses polinômios.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a imagem de , . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, consiste em todos os polinômios em que podem ser escritos como , onde é um polinômio de grau até 2.

Passo 3

Para verificar se um vetor específico está em , precisamos ver se existe um polinômio em tal que seja igual ao vetor dado. Isso significa resolver a equação (vetor dado) para encontrar os coeficientes .

Passo 4

Vamos aplicar esse método a cada um dos vetores fornecidos:
(a) x(a0 + a1x + a2x^2) = a0x + a1x^2 + a2x^3
a0x + a1x^2 + a2x^3 = 0x^3 + x + x^2
Comparamos com a2 = 0, a1 = 1, a0 = 1 :
x(a0 + a1x + a2x^2) = a0x + a1x^2 + a2x^3
Igualando os coeficientes:
a0x + a1x^2 + a2x^3 = 0x^3 + x + 1
Existe uma solução, então a2 = 0, a1 = 1, a0 = não existe termo constante Rightarrow a0 deveria ser 0 está em x(a0 + a1x + a2x^2) = a0x + a1x^2 + a2x^3 .
(b) a0x + a1x^2 + a2x^3 = 0x^3 - x^2 + 3
a2 = 0, a1 = -1, a0 = 3
Comparamos com :
Igualando os coeficientes:
ã
Mas isso levaria a , o que não é possível. Portanto, não está em .
©
Comparamos com :
Igualando os coeficientes:
Existe uma solução, então está em .

Resposta

(a) está em .
(b) não está em .
© está em .

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