Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função , onde . Além disso, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil aplicar a série geométrica. Observa que o denominador pode ser rearranjado para:
Aqui, a gente dividiu tanto o numerador quanto o denominador por . Isso ajuda a isolar a parte que vai entrar na série.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série geométrica. A série geométrica é dada por:
Vamos identificar na nossa função. Comparando com a expressão que obtivemos no passo anterior, temos:
Então, nossa função fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da série. Distribuindo o dentro da soma, temos:
Assim, a representação em série de potências centrada em 0 para fica:
Passo 5
Por último, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. A série geométrica converge quando:
Resolvendo a desigualdade:
Como , podemos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
Resposta
A representação em série de potências centrada em 0 para a função é: