Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função , onde . Além disso, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil aplicar a série geométrica. Observa que o denominador pode ser rearranjado para:
Aqui, a gente dividiu tanto o numerador quanto o denominador por . Isso ajuda a isolar a parte que vai entrar na série.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série geométrica. A série geométrica é dada por:
Vamos identificar na nossa função. Comparando com a expressão que obtivemos no passo anterior, temos:
Então, nossa função fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da série. Distribuindo o dentro da soma, temos:
Assim, a representação em série de potências centrada em 0 para fica:

Passo 5

Por último, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. A série geométrica converge quando:
Resolvendo a desigualdade:
Como , podemos tirar a raiz cúbica dos dois lados:

Resposta

A representação em série de potências centrada em 0 para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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Questão 3 (1.0 pt) - Um paralelepípedo retangular hipotético possui:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura
    Desta forma, pode-se afirmar que o volume do paralelepípedo retangular hipotético é igual à:
Questão 2 (1.0 pt) - Simplifique as expressões a seguir:
d)
Determine e sabendo que a função
é contínua.
Resolva a seguinte equação diferencial dada a condiçào inicial