Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada da função usando a definição formal da derivada. Isso envolve entender o conceito de limite e como aplicá-lo para encontrar a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal da derivada. A derivada de em relação a é dada por:
Aqui, é um pequeno incremento em , e queremos ver como a função muda nesse pequeno intervalo.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na definição. Temos:
Então, a diferença fica:
E a expressão da derivada fica:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Fazendo isso, temos:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então:
A expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o que está no numerador e no denominador:
Como tende a 0, a expressão se aproxima de . Então, substituindo :

Resposta

A derivada da função é:

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Determine e para que a terna seja função, sendo a regra dada implicitamente pela equação
Esboce o gráfico de :
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo: