Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada da função
usando a definição formal da derivada. Isso envolve entender o conceito de limite e como aplicá-lo para encontrar a taxa de variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal da derivada. A derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
é um pequeno incremento em
, e queremos ver como a função muda nesse pequeno intervalo.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na definição. Temos:
Então, a diferença
fica:
E a expressão da derivada fica:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Fazendo isso, temos:
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então:
A expressão fica:
Passo 5
Agora, podemos simplificar o
que está no numerador e no denominador:
Como
tende a 0, a expressão
se aproxima de
. Então, substituindo
:
Resposta
A derivada da função
é:
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Determine
e
para que a terna
seja função, sendo a regra
dada implicitamente pela equação
Esboce o gráfico de :
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo: