Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de
seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes
com
).
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes
com traço zero. Estamos entrando no mundo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, a dimensão de um espaço vetorial e como características como o traço das matrizes influenciam isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Esse espaço tem uma dimensão
, porque cada uma das
entradas pode ser escolhida independentemente.
Passo 3
Agora, vamos focar no subespaço das matrizes de traço zero. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja,
. Queremos que esse somatório seja igual a zero.
Passo 4
Para encontrar uma base para esse subespaço, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que qualquer matriz de traço zero possa ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 5
Podemos construir essas matrizes considerando que, para cada posição fora da diagonal, podemos ter 1 na posição
e 0 nas restantes. Para as posições diagonais, precisamos garantir que a soma das diagonais seja zero. Então, para a última posição diagonal, damos um valor que compense a soma das outras diagonais para manter o traço zero.
Passo 6
Isso significa que teremos
matrizes básicas:
para as posições fora da diagonal e
para as posições diagonais, já que a última entrada diagonal é determinada pelas anteriores para garantir o traço zero.
Passo 7
Assim, a dimensão desse subespaço é
, pois precisamos de
matrizes para formar uma base completa.
Resposta
Uma base para o subespaço das matrizes de traço zero é composta pelas
matrizes com um único 1 fora da diagonal e pelas
matrizes diagonais onde uma entrada é -1 e as demais são 1, garantindo que a soma das diagonais seja zero. A dimensão desse subespaço é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
subconjuntos LI de um espaço vetorial.
2. Mostre que é LI se, e somente se,
.
2. Mostre que
- Mostre que o conjunto
das funções polinomiais pares (isto é, as funções polinomiais tais que para todo ) é subespaço de .
Sejam
e
.
- Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto
.
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se então
.
3. Se