Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de Mn, n(R) seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes A=(ai j) com sumi=1^n ai i=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes com traço zero. Estamos entrando no mundo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, a dimensão de um espaço vetorial e como características como o traço das matrizes influenciam isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Esse espaço tem uma dimensão , porque cada uma das entradas pode ser escolhida independentemente.

Passo 3

Agora, vamos focar no subespaço das matrizes de traço zero. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja, . Queremos que esse somatório seja igual a zero.

Passo 4

Para encontrar uma base para esse subespaço, precisamos identificar um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes e que qualquer matriz de traço zero possa ser escrita como uma combinação linear delas.

Passo 5

Podemos construir essas matrizes considerando que, para cada posição fora da diagonal, podemos ter 1 na posição e 0 nas restantes. Para as posições diagonais, precisamos garantir que a soma das diagonais seja zero. Então, para a última posição diagonal, damos um valor que compense a soma das outras diagonais para manter o traço zero.

Passo 6

Isso significa que teremos matrizes básicas: para as posições fora da diagonal e para as posições diagonais, já que a última entrada diagonal é determinada pelas anteriores para garantir o traço zero.

Passo 7

Assim, a dimensão desse subespaço é , pois precisamos de matrizes para formar uma base completa.

Resposta

Uma base para o subespaço das matrizes de traço zero é composta pelas matrizes com um único 1 fora da diagonal e pelas matrizes diagonais onde uma entrada é -1 e as demais são 1, garantindo que a soma das diagonais seja zero. A dimensão desse subespaço é .

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