Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
  1. Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro vetores no espaço tridimensional: , , e . A missão aqui é descobrir a dimensão do subespaço gerado por esse conjunto . Basicamente, queremos saber quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, quantos deles não podem ser escritos como combinação dos outros. Para isso, vamos usar um método de resolução de sistemas lineares com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 1 & 1 & 1 & 1 3 & 3 & 2 & -2 2 & 3 & 2 & 2
Agora, nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada usando operações elementares de linha, para facilitar a identificação das linhas independentes.

Passo 3

Vamos começar ajustando as linhas para simplificar a matriz:
  1. Primeira operação: Já temos um 1 na posição (1,1), então mantemos a primeira linha.
  2. Segunda operação: Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 3 abaixo do primeiro 1.
  3. Terceira operação: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o 2 abaixo do primeiro 1.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -5 0 & 1 & 0 & 0

Passo 4

Agora, vamos continuar simplificando:
  1. Quarta operação: Troca a segunda linha com a terceira para ter um 1 como pivô na segunda linha.
  2. Quinta operação: Adicionamos a segunda linha à terceira linha para eliminar o 1 acima do pivô.
A matriz atualizada:
A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & -5

Passo 5

Por fim, vamos deixar a matriz totalmente escalonada:
  1. Sexta operação: Multiplicamos a terceira linha por -1 para tornar o pivô positivo.
  2. Sétima operação: Subtraímos a segunda linha da primeira linha para eliminar o 1 acima do segundo pivô.
A matriz final fica:
A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelo conjunto é 3.

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