Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se [v1, v2, w]=[v3, v4, w] então [v1, v2]=[v3, v4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para determinar se a afirmação "Se então " é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos trabalhando com determinantes de matrizes, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como eles estão relacionados entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que os colchetes significam. representa o determinante de uma matriz 3x3 cujas colunas são os vetores , e . Da mesma forma, representa o determinante de uma matriz 2x2 cujas colunas são os vetores e .

Passo 3

A igualdade nos diz que os determinantes das duas matrizes 3x3 são iguais. Queremos saber se isso implica que os determinantes das matrizes 2x2 correspondentes ( e ) também são iguais.

Passo 4

Para verificar isso, vamos considerar um exemplo concreto. Suponha que seja um vetor não nulo. Se , isso significa que a combinação linear dos vetores e com resulta no mesmo determinante que a combinação dos vetores e com .

Passo 5

No entanto, isso não garante necessariamente que . É possível que e sejam diferentes de e de tal forma que, apesar das diferenças individuais, os determinantes com acabem sendo iguais. Portanto, a igualdade dos determinantes 3x3 não implica necessariamente a igualdade dos determinantes 2x2.

Resposta

Falsa. A igualdade não garante que , pois diferentes pares de vetores podem produzir o mesmo determinante quando combinados com , mas ter determinantes diferentes entre si.

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Sejam v1=(1,3,2), v2=(1,3,3), v3=(1,2,2), v4=(1,-2,2) e B= v1, v2, v3, v4.
  1. Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto B.
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de Mn, n(R) seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes A=(ai j) com sumi=1^n ai i=0 ).
Sejam X um conjunto e V um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em F(X, V).
Sejam V um espaço vetorial e X um subconjunto de V. Mostre que o subespaço de V gerado por X é igual à interseção de todos os subespaços de V que contém X como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos A, B são iguais o truque é mostrar que A subseteq B e que B subseteq A.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por X o