Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
3. Se
então
.
3. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para determinar se a afirmação "Se
então
" é verdadeira ou falsa. Aqui, estamos trabalhando com determinantes de matrizes, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como eles estão relacionados entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que os colchetes significam.
representa o determinante de uma matriz 3x3 cujas colunas são os vetores
,
e
. Da mesma forma,
representa o determinante de uma matriz 2x2 cujas colunas são os vetores
e
.
Passo 3
A igualdade
nos diz que os determinantes das duas matrizes 3x3 são iguais. Queremos saber se isso implica que os determinantes das matrizes 2x2 correspondentes (
e
) também são iguais.
Passo 4
Para verificar isso, vamos considerar um exemplo concreto. Suponha que
seja um vetor não nulo. Se
, isso significa que a combinação linear dos vetores
e
com
resulta no mesmo determinante que a combinação dos vetores
e
com
.
Passo 5
No entanto, isso não garante necessariamente que
. É possível que
e
sejam diferentes de
e
de tal forma que, apesar das diferenças individuais, os determinantes com
acabem sendo iguais. Portanto, a igualdade dos determinantes 3x3 não implica necessariamente a igualdade dos determinantes 2x2.
Resposta
Falsa. A igualdade
não garante que
, pois diferentes pares de vetores podem produzir o mesmo determinante quando combinados com
, mas ter determinantes diferentes entre si.
Exercícios relacionados
Sejam
e
.
- Determine a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto
.
Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de
seguintes:
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes com
).
3. Matrizes de traço 0 (isto é, matrizes
Sejam
um conjunto e
um espaço vetorial.
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em .
2. Defina as operações de soma e produto por escalar em
Sejam
um espaço vetorial e
um subconjunto de
. Mostre que o subespaço de
gerado por
é igual à interseção de todos os subespaços de
que contém
como subconjunto.
Dica: para mostrar que dois subconjuntos são iguais o truque é mostrar que
e que
.
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por o
Dica: para mostrar que dois subconjuntos
Segue disso que faz sentido chamar o subespaço gerado por