Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y, 3 y).
a) Calcule os autovalores de T e os auto espaços de T.
b) Determine uma base de R^2 constituída de autovetores de T. Qual a representação matricial de T nesta base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente precisa calcular os autovalores e os autoespaços da transformação , além de encontrar uma base de autovetores e a representação matricial de nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, matrizes e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores tais que existe um vetor não nulo que satisfaz . Para descobrir esses valores, precisamos resolver a equação característica, que envolve o determinante da matriz , onde é a matriz da transformação e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = 1 & 2 0 & 3 da transformação . Dado que , a matriz correspondente é:

Passo 4

Agora, vamos montar a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Substituindo det( 1 - lambda & 2 0 & 3 - lambda ) = (1 - lambda)(3 - lambda) - (0 cdot 2) = (1 - lambda)(3 - lambda) e (1 - lambda)(3 - lambda) = 0 :
Então, a equação característica é:

Passo 5

Resolvendo a equação lambda1 = 1 e lambda2 = 3 , encontramos os autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada um. Para cada , resolvemos para encontrar os vetores que são os autovetores.

Passo 7

Para A - lambda1 I = 0 & 2 0 & 2 :
0 cdot x + 2 cdot y = 0 0 cdot x + 2 cdot y = 0
Resolvendo :
Isso se reduz a . Então, os autovetores têm a forma , onde pode ser qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta , ou seja, todos os vetores da forma .

Passo 8

Para A - lambda2 I = -2 & 2 0 & 0 :
-2x + 2y = 0 0 cdot x + 0 cdot y = 0
Resolvendo :
A primeira equação dá . Assim, os autovetores têm a forma , onde é qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta formada pelos vetores .

Passo 9

Agora que temos os autovalores e seus respectivos autoespaços, vamos para a parte b. Precisamos encontrar uma base de formada por autovetores de . Observamos que os vetores e pertencem aos autoespaços correspondentes a e , respectivamente. Esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 10

Por fim, vamos determinar a representação matricial de lambda1 & 0 0 & lambda2 = 1 & 0 0 & 3 nessa base de autovetores. Como os vetores são autovetores, a matriz de nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Ou seja:
[


]

Resposta

a) Os autovalores de 1 & 0 0 & 3 são e . Os autoespaços correspondentes são:
  • Para : todos os vetores da forma .
  • Para : todos os vetores da forma .
b) Uma base de constituída de autovetores de é . A representação matricial de nessa base é:

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