Seja
a transformação linear definida por
.
a) Calcule os autovalores de
e os auto espaços de
.
b) Determine uma base de
constituída de autovetores de
. Qual a representação matricial de
nesta base?
a) Calcule os autovalores de
b) Determine uma base de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente precisa calcular os autovalores e os autoespaços da transformação
, além de encontrar uma base de autovetores e a representação matricial de
nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, matrizes e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são valores
tais que existe um vetor não nulo
que satisfaz
. Para descobrir esses valores, precisamos resolver a equação característica, que envolve o determinante da matriz
, onde
é a matriz da transformação
e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos escrever a matriz
da transformação
. Dado que
, a matriz correspondente é:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação característica:
Substituindo
e
:
Então, a equação característica é:
Passo 5
Resolvendo a equação
, encontramos os autovalores:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada um. Para cada
, resolvemos
para encontrar os vetores
que são os autovetores.
Passo 7
Para
:
Resolvendo
:
Isso se reduz a
. Então, os autovetores têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta
, ou seja, todos os vetores da forma
.
Passo 8
Para
:
Resolvendo
:
A primeira equação dá
. Assim, os autovetores têm a forma
, onde
é qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta formada pelos vetores
.
Passo 9
Agora que temos os autovalores e seus respectivos autoespaços, vamos para a parte b. Precisamos encontrar uma base de
formada por autovetores de
. Observamos que os vetores
e
pertencem aos autoespaços correspondentes a
e
, respectivamente. Esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 10
Por fim, vamos determinar a representação matricial de
nessa base de autovetores. Como os vetores são autovetores, a matriz de
nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Ou seja:
[
]
Resposta
a) Os autovalores de
são
e
. Os autoespaços correspondentes são:
- Para
: todos os vetores da forma . - Para
: todos os vetores da forma .
b) Uma base de
constituída de autovetores de
é
. A representação matricial de
nessa base é:
Exercícios relacionados
Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
um operador linear sobre
e
um autovalor de
. Mostre que o subconjunto definido por:
é um subespaço vetorial de
.
Encontre as coordenadas esféricas do ponto cujas coordenadas cartesianas são
.
Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas esféricas são
.
Determine uma base e a dimensão de
, onde
é definida por