Seja a transformação linear definida por .
a) Calcule os autovalores de e os auto espaços de .
b) Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nesta base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente precisa calcular os autovalores e os autoespaços da transformação , além de encontrar uma base de autovetores e a representação matricial de nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores, matrizes e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores tais que existe um vetor não nulo que satisfaz . Para descobrir esses valores, precisamos resolver a equação característica, que envolve o determinante da matriz , onde é a matriz da transformação e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos escrever a matriz da transformação . Dado que , a matriz correspondente é:

Passo 4

Agora, vamos montar a equação característica:
Substituindo e :
Então, a equação característica é:

Passo 5

Resolvendo a equação , encontramos os autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada um. Para cada , resolvemos para encontrar os vetores que são os autovetores.

Passo 7

Para :
Resolvendo :
Isso se reduz a . Então, os autovetores têm a forma , onde pode ser qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta , ou seja, todos os vetores da forma .

Passo 8

Para :
Resolvendo :
A primeira equação dá . Assim, os autovetores têm a forma , onde é qualquer número real. O autoespaço correspondente é a reta formada pelos vetores .

Passo 9

Agora que temos os autovalores e seus respectivos autoespaços, vamos para a parte b. Precisamos encontrar uma base de formada por autovetores de . Observamos que os vetores e pertencem aos autoespaços correspondentes a e , respectivamente. Esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 10

Por fim, vamos determinar a representação matricial de nessa base de autovetores. Como os vetores são autovetores, a matriz de nessa base será uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Ou seja:
[


]

Resposta

a) Os autovalores de são e . Os autoespaços correspondentes são:
  • Para : todos os vetores da forma .
  • Para : todos os vetores da forma .
b) Uma base de constituída de autovetores de é . A representação matricial de nessa base é:

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